\documentstyle[11pt,german,epsfig,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\centerline{12. "Ubung}
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\centerline{Bearbeitung vom 24.01.07 - 29.01.07}
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{\bf Aufgabe 1: Variablentransformation} \newline
Die $\chi^{2}$- Verteilung mit $n$ Freiheitsgraden lautete:
\begin{displaymath}
\chi^{2}(x) = \frac{1}{2^{n/2} \Gamma( n/2)} x^{n/2-1} e^{-x/2}, \; \; \; \; \; x>0
\end{displaymath}
Zeigen Sie, da"s man aus der $\chi^{2}$- Verteilung mit 3 Freiheitsgraden mit Hilfe
der Transformnation $x = m v^{2}/(kT)$ die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung 
von Atomen oder Molek"ulen in einem idealen Gas erh"alt (siehe auch Aufgabe 3 im 
"Ubungsblatt Nr.8):
\begin{displaymath}
f(v) = 4 \pi \left( \frac{m}{2 \pi k T} \right)^{3/2} v^{2} e^{-mv^{2}/(2kT)}.
\end{displaymath}
Anmerkung: F"ur die Gammafunktion gilt: $\Gamma(3/2) = \sqrt{\pi}/2$.
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{\bf Aufgabe 2: Zweidimensionale Verteilungen} \newline
Im folgenden sind 3 zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichten angegeben: \newline
\begin{eqnarray}
 f(x,y) &=& 2 \; \; \; \; \; \; \; \; fuer \; \; \; 0 < x < y, \; \; \; 0 < y < 1  \\
        &=& 0 \; \; \; \; \; \; \; \; sonst \nonumber \\
 f(x,y) &=& x e^{-(x+y)} \; \; \; \; \; \; \; \; x,y > 0  \\
 f(x,k) &=& (k+1) e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k!} x^{k} \; \; \; \; \;\; \; \; 
 0 < x < 1, \; \; \; \; \; \; \; \; k \geq 0, \; \;ganzzahlig
\end{eqnarray}
a) Bei welchen Verteilungen sind die beiden Variablen korreliert ? \newline
b) Bestimmen Sie die eindimensionalen Randverteilungen (eine unendliche Summe braucht nicht
ausgewertet zu werden). \newline
Anmerkung: Es gilt $\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-ax} dx = n!/a^{n+1}$ f"ur $n>0$, ganzzahlig.
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{\bf Aufgabe 3: Korrelationen} \newline
In den 3 Files \tt file1.dat, file2.dat, file3.dat \rm haben wir Stichproben aus 
zweidimensionalen Verteilungen mit jeweils $N = 10000$ Wertepaaren abgespeichert. 
Bestimmen Sie die Korrelationskoeffizienten einschlie"slich der Fehler. 
Tragen Sie die Stichproben in 2-dimensionale Histogramme ein und "uberpr"ufen Sie
Ihre Ergebnisse visuell. Vergleichen Sie auch die Randverteilungen der 3 Stichproben
miteinander. 
\end{document}
