11. Übung

Bearbeitung vom 17.01.07 - 22.01.07

Aufgabe 1: Fehlerfortpflanzung
Die Zeit $T$ für die Periode der Bewegung eines mathematischen Pendels ist durch $T = 2 \pi \sqrt{L/g}$ gegeben. Dabei ist $L$ die Länge des Pendels und $g$ die Erdbeschleunigung. Berechnen Sie $g$ und $\Delta g$ unter Benutzung der Meßwerte $L = (99,8 \pm 0,3) cm$ und $T = (2,03 \pm 0,05) s$. Nehmen Sie an, daß die Meßwerte unkorreliert sind. Aufgabe 2: Gewichtetes Mittel
a) Beweisen Sie die Formel (38) im Skript Teil 9, Absatz 11.4, für die Berechnung des gewichteten Mittelwertes mit Hilfe der $\chi^{2}$ Bedingung

$$\chi^{2}(\overline{x}) = \sum_{i} \frac{(x_{i} - \overline{x})^{2}}{(\Delta x_{i})^{2}} =! \; Minimum.$$

Hierbei werden die $x_{i}$ als unabhängige Messungen vorausgesetzt.
b) Die Masse des $Z$- Bosons ist mittlerweise eine der am genauesten gemessenen Größen der Physik. Das war nicht immer so. Im Datenfile Z_Mass.dat finden Sie die Messungen verschiedener Experimente. In jeder Zeile ist die erste Zahl die Jahreszahl der Veröffentlichung, die zweite Zahl die Masse in Einheiten von GeV ($= 10^{9} eV$) und die letzte Zahl der Fehler der Messung. Berechnen Sie das gewichtete Mittel der $Z$-Masse einschließlich des Fehlers mit allen bis dahin veröffentlichten Ergebnissen am Ende des Jahres 1989, am Ende des Jahres 1995 und am Ende des Jahres 2000.
Aufgabe 3: Maximum Likelihood
a) Bei der Poisson- Verteilung gibt es nur einen Parameter $\lambda$. Zeigen Sie, daß aus der Likelihood- Bedingung $L(\lambda) =! \; Minimum$ folgt, daß der arithmetische Mittelwert einer unabhängigen Stichprobe $n_{1}, n_{2}, ..., n_{N}$

$$\overline{n} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} n_{i}$$

der beste Estimator des Parameters $\lambda$ ist.
b) Im Datenfile Poisson.dat befinden sich die Werte einer Stichprobe aus einer Poisson- Statistik. Bestimmen Sie hieraus mit Hilfe der Maximum Likelihood Methode den Wert für $\lambda$ einschließlich des Fehlers.