\documentstyle[11pt,german,epsfig,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\centerline{11. "Ubung}
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\centerline{Bearbeitung vom 17.01.07 - 22.01.07}
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{\bf Aufgabe 1: Fehlerfortpflanzung} \newline
Die Zeit $T$ f"ur die Periode der Bewegung eines mathematischen Pendels ist durch $T = 2 \pi \sqrt{L/g}$ gegeben.
Dabei ist $L$ die L"ange des Pendels und $g$ die Erdbeschleunigung. Berechnen Sie $g$ und $\Delta g$ unter 
Benutzung der Me"swerte $L = (99,8 \pm 0,3) cm$ und $T = (2,03 \pm 0,05) s$. Nehmen Sie an, da"s die Me"swerte
unkorreliert sind. 
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{\bf Aufgabe 2: Gewichtetes Mittel} \newline
a) Beweisen Sie die Formel (38) im Skript Teil 9, Absatz 11.4, f"ur die Berechnung des gewichteten Mittelwertes
mit Hilfe der $\chi^{2}$ Bedingung 
\begin{displaymath}
\chi^{2}(\overline{x}) = \sum_{i} \frac{(x_{i} - \overline{x})^{2}}{(\Delta x_{i})^{2}} =! \; Minimum.
\end{displaymath}
Hierbei werden die $x_{i}$ als unabh"angige Messungen vorausgesetzt. \newline 
b) Die Masse des $Z$- Bosons ist mittlerweise eine der am genauesten gemessenen Gr"o"sen der Physik. Das war nicht
immer so. Im Datenfile \tt Z$\_$Mass.dat \rm finden Sie die Messungen verschiedener Experimente. In jeder Zeile ist die
erste Zahl die Jahreszahl der Ver"offentlichung, die zweite Zahl die Masse in Einheiten von GeV ($= 10^{9} eV$) und die 
letzte Zahl der Fehler der Messung. Berechnen Sie das gewichtete Mittel der $Z$-Masse einschlie"slich des Fehlers
mit allen bis dahin ver"offentlichten Ergebnissen
am Ende des Jahres 1989, am Ende des Jahres 1995 und am Ende des Jahres 2000. 
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{\bf Aufgabe 3: Maximum Likelihood} \newline
a) Bei der Poisson- Verteilung gibt es nur einen Parameter $\lambda$. Zeigen Sie, da"s aus der Likelihood- Bedingung
$L(\lambda) =! \; Minimum$ folgt, da"s der arithmetische Mittelwert einer unabh"angigen Stichprobe $n_{1}, n_{2}, ..., n_{N}$
\begin{displaymath}
\overline{n} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} n_{i}
\end{displaymath} 
der beste Estimator des Parameters $\lambda$ ist. \newline
b) Im Datenfile \tt Poisson.dat \rm befinden sich die Werte einer Stichprobe aus einer Poisson- Statistik. Bestimmen Sie
hieraus mit Hilfe der Maximum Likelihood Methode den Wert f"ur $\lambda$ einschlie"slich des Fehlers. 
\end{document}
