10. Übung
Bearbeitung vom 10.01.07 - 15.01.07
Aufgabe 1: Transformationsmethode
Entwickeln Sie mit Hilfe der Transformationsmethode einen Algorithmus zur Simulation zufälliger Veränderlicher der Cauchy- Verteilung:

\begin{displaymath}
p(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{1+ x^{2}}.
\end{displaymath}

Fertigen Sie ein Histogramm im Intervall von $a=-10$ bis $b=+10$ an.

Anmerkung: Es gilt

\begin{displaymath}
\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} dx
= \frac{1}{a} \; arctg\left( \frac{x}{a} \right)
\end{displaymath}

Aufgabe 2: Rückweisungsmethode
Setzt man $x = (M - M_{R})/(\Gamma/2)$ mit der Variablen $M$ und den zwei Parametern $M_{R}$ und $\Gamma$, so erhält man aus der Cauchy- Verteilung von Aufgabe 1 die Breit-Wigner Verteilung

\begin{displaymath}
BW(M) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\Gamma/2}{(M-M_{R})^{2} + (\Gamma/2)^{2}}
\end{displaymath}

In physikalischen Anwendungen muß die Verteilung immer auf einen endlichen Bereich eingeschränkt werden. Daher wird die Breit-Wigner Verteilung noch mit einer Funktion $X(M)$ multipliziert:
$\displaystyle X(M)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \sqrt{(M-M_{0})(M_{Max}- M)} \; \; \; \; \; fuer \; \; \; \; \; M_{0} < M < M_{Max}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle 0 \; \; \; \; \; fuer \; \; \; M < M_{0} \; \; \; und \; \; \; M > M_{Max}$  

a) Entwickeln Sie mit Hilfe der Rückweisungsmethode einen Algorithmus zur Erzeugung von zufälligen Veränderlichen der modifizierten Breit- Wigner Verteilung

\begin{displaymath}
BW'(M) = BW(M) \cdot X(M).
\end{displaymath}

Benutzen Sie die Parameter $M_{0} =0$, $M_{Max} = 1$, $M_{R} = 0.3$ und $\Gamma = 0.2$ und fertigen Sie ein Histogramm der Verteilung an.
b) Wie groß ist die Effizienz des Verfahrens ?

Aufgabe 3: Stichproben
Sei $x$ eine Variable aus der Verteilung $p(x)$ mit Mittelwert $\mu = <x> = \int x p(x) \; dx$ und Varianz $\sigma^{2} = <(x-\mu)^{2}> = \int (x-\mu)^{2} p(x) \; dx$. Wir entnehmen eine unabhängige Stichprobe $x_{1}, x_{2}, .... , x_{n}$. Dann ist der Erwartungswert des arithmetischen Mittels

\begin{displaymath}
\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}
\end{displaymath}

gleich dem Erwartungswert $<x>$, da

\begin{displaymath}
<\overline{x}> = < \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} > = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} <x_{i}> = \frac{1}{n} n <x> = <x>
\end{displaymath}

Zeigen Sie, daß der Erwartungswert für die gemessene Größe

\begin{displaymath}
s^{2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \overline{x})^{2}
\end{displaymath}

gleich der Varianz $\sigma^{2}$ ist, d.h. $<s^{2}> = \sigma^{2}$. Beschränken Sie sich bei der Rechnung auf den Spezialfall $\mu = <x> = 0$ und beachten Sie, daß die Erwartungswerte $<x_{i} x_{j}> = 0$ für $i \neq j$.
Aufgabe 4: Nochmal eine Stichprobe (Zusatzaufgabe)
a) Entnehmen Sie aus der modifizierten Breit-Wigner Verteilung $BW'(M)$ von Aufgabe 2 jeweils $n = 5$ zufällige Werte und bilden das arithmetische Mittel $\overline{M}$ und Varianz

\begin{displaymath}
S^{2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (M_{i} - \overline{M})^{2} .
\end{displaymath}

Fertigen Sie von beiden Größen eine Verteilung an.
b) Verifizieren Sie die Aussagen von Aufgabe 3 durch Vergleich mit den Ergebnissen von Aufgabe 2.



Harm Fesefeldt
2007-01-09