\documentstyle[11pt,german,epsfig,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\centerline{10. "Ubung}
\large
\centerline{Bearbeitung vom 10.01.07 - 15.01.07}
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{\bf Aufgabe 1: Transformationsmethode} \newline
Entwickeln Sie mit Hilfe der Transformationsmethode einen Algorithmus zur Simulation zuf"alliger
Ver"anderlicher der Cauchy- Verteilung:
\begin{displaymath}
p(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{1+ x^{2}}.
\end{displaymath}
Fertigen Sie ein Histogramm im Intervall von $a=-10$ bis $b=+10$ an. \newline \newline \vskip 0.1cm 
Anmerkung: Es gilt 
\begin{displaymath}
\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} dx 
= \frac{1}{a} \; arctg\left( \frac{x}{a} \right) 
\end{displaymath}
\vskip 1cm
{\bf Aufgabe 2: R"uckweisungsmethode} \newline
Setzt man $x = (M - M_{R})/(\Gamma/2)$ mit der Variablen $M$ und den zwei Parametern $M_{R}$ und $\Gamma$,
so erh"alt man aus der Cauchy- Verteilung von Aufgabe 1 die Breit-Wigner Verteilung
\begin{displaymath}
BW(M) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\Gamma/2}{(M-M_{R})^{2} + (\Gamma/2)^{2}}
\end{displaymath}
In physikalischen Anwendungen mu"s die Verteilung immer auf einen endlichen Bereich eingeschr"ankt werden.
Daher wird die Breit-Wigner Verteilung noch mit einer Funktion $X(M)$ multipliziert:
\begin{eqnarray}
X(M) &=& \sqrt{(M-M_{0})(M_{Max}- M)} \; \; \; \; \; fuer \; \; \; \; \; M_{0} < M < M_{Max} \nonumber \\
     &=& 0 \; \; \; \; \; fuer \; \; \; M < M_{0} \; \; \; und \; \; \; M > M_{Max} \nonumber 
\end{eqnarray}
a) Entwickeln Sie mit Hilfe der R"uckweisungsmethode einen Algorithmus zur Erzeugung von zuf"alligen Ver"anderlichen
der modifizierten Breit- Wigner Verteilung 
\begin{displaymath}
BW'(M) = BW(M) \cdot X(M).
\end{displaymath}
 Benutzen Sie die Parameter $M_{0} =0$, 
$M_{Max} = 1$, $M_{R} = 0.3$ und $\Gamma = 0.2$ und fertigen Sie ein Histogramm der Verteilung an. \newline
b) Wie gro"s ist die Effizienz des Verfahrens ? \newpage
{\bf Aufgabe 3: Stichproben} \newline
Sei $x$ eine Variable aus der Verteilung $p(x)$ mit Mittelwert $\mu = <x> = \int x p(x) \; dx$ und
Varianz $\sigma^{2} = <(x-\mu)^{2}> = \int (x-\mu)^{2} p(x) \; dx$. Wir entnehmen eine unabh"angige
Stichprobe $x_{1}, x_{2}, .... , x_{n}$. Dann ist der Erwartungswert des arithmetischen Mittels
\begin{displaymath}
\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}
\end{displaymath}
gleich dem Erwartungswert $<x>$, da
\begin{displaymath}
<\overline{x}> = < \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} > = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} <x_{i}> = \frac{1}{n} n <x> = <x>
\end{displaymath}
Zeigen Sie, da"s der Erwartungswert f"ur die gemessene Gr"o"se 
\begin{displaymath}
s^{2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \overline{x})^{2}
\end{displaymath}
gleich der Varianz $\sigma^{2}$ ist, d.h. $<s^{2}> = \sigma^{2}$. 
Beschr"anken Sie sich bei der Rechnung auf den Spezialfall $\mu = <x> = 0$ und beachten Sie, da"s die Erwartungswerte
$<x_{i} x_{j}> = 0$ f"ur $i \neq j$. 
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{\bf Aufgabe 4: Nochmal eine Stichprobe} (Zusatzaufgabe) \newline
a) Entnehmen Sie aus der modifizierten Breit-Wigner Verteilung $BW'(M)$ von Aufgabe 2 jeweils $n = 5$ zuf"allige Werte und bilden das arithmetische Mittel $\overline{M}$ und Varianz
\begin{displaymath}
S^{2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (M_{i} - \overline{M})^{2} .
\end{displaymath}
Fertigen Sie von beiden Gr"o"sen eine Verteilung an. \newline
b) Verifizieren Sie die Aussagen von Aufgabe 3 durch Vergleich mit den Ergebnissen von Aufgabe 2.
\end{document}
