9. Übung

Bearbeitung vom 20.12.06 - 8.01.07

Aufgabe 1: Standardabweichung
Zeigen Sie die Gültigkeit der Formel

$$<(x-<x>)^{2} > = <x^{2}> - <x>^{2}$$

Aufgabe 2: Geigerzähler
Zwei Geigerzähler sollen im Strahlengang einer Teilchenquelle hintereinander aufgebaut und unabhängig voneinander betrieben werden. Die Nachweiswahrscheinlichkeit der beiden Zähler soll als unabhängig voneinander angenommen werden (für Leute mit Vorbildung: wir vernachlässigen also den Energieverlust der Teilchen im ersten Zähler). Kopieren Sie die Datei zaehler.dat in Ihr Verzeichnis. Jede Zeile entspricht einem registrierten Teilchendurchgang. Die erste Zahl enthält das Resultat des ersten Zählers, die zweite die des zweiten Zählers. Eine 1 bzw eine 0 gibt an, ob der entsprechende Zähler angesprochen hat oder nicht. Es kann natürlich auch vorkommen, daß keiner der beiden Zähler angesprochen hat.
a) Wie groß sind die Ansprechwahrscheinlichkeiten der beiden Zähler, einschließlich ihrer Fehler ?
b) Wie groß sind die Ansprechwahrscheinlichkeiten der beiden Zähler unter der Vorraussetzung, daß der jeweils andere Zähler angesprochen hat ? Bestimmen Sie auch hier die Fehler. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Resultat von Teil a).

Aufgabe 3: Zentraler Grenzwertsatz
a) Schreiben Sie ein ROOT- Script, in dem eine Gleichverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz 1 erzeugt wird. Tragen Sie die Verteilung in einem Histogramm auf.
b) Erzeugen Sie ein zweites Histogramm, in dem jeweils die Summe von 9 gleichverteilten Zufallszahlen von Teil a) geplottet werden. Zeichnen Sie die von Ihnen erwartete Verteilung in das Histogramm ein.
c) Erzeugen Sie eine (ungefähr) gleiche Gausverteilung wie in Teil b) aus einer Summe (Differenz) von 10 exponentiell- verteilten Zufallszahlen (gRandom->Exp($\tau$)) .
Aufgabe 4: Nochmals Geigerzähler (Zusatzaufgabe)
a) Wir verändern das Experiment von Aufgabe 2, daß wir jetzt 10 Geigerzähler mit einer Ansprechwahrscheinlichkeit von jeweils $95\%$ hintereinander in den Strahlengang stellen. Tragen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zahl der angesprochenen Zähler in einem Histogramm auf und zeichnen Sie die erwartete Funktion ein.
b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens ein Zähler bei der Messung fehlt$\;$?