\documentstyle[11pt,german,epsfig,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\centerline{9. "Ubung}
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\centerline{Bearbeitung vom 20.12.06 - 8.01.07}
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{\bf Aufgabe 1: Standardabweichung} \newline
Zeigen Sie die G"ultigkeit der Formel 
\begin{displaymath}
<(x-<x>)^{2} > = <x^{2}> - <x>^{2}
\end{displaymath} 
{\bf Aufgabe 2: Geigerz"ahler} \newline
Zwei Geigerz"ahler sollen im Strahlengang einer Teilchenquelle 
hintereinander aufgebaut und unabh"angig voneinander betrieben werden.
Die Nachweiswahrscheinlichkeit der beiden Z"ahler soll als unabh"angig voneinander
angenommen werden (f"ur Leute mit Vorbildung: wir vernachl"assigen also
den Energieverlust der Teilchen im ersten Z"ahler). Kopieren Sie die
Datei \tt zaehler.dat \rm in Ihr Verzeichnis. Jede Zeile entspricht einem 
registrierten Teilchendurchgang. Die erste Zahl enth"alt das Resultat des ersten Z"ahlers,
die zweite die des zweiten Z"ahlers. Eine 1 bzw eine 0 gibt an, ob der entsprechende Z"ahler
angesprochen hat oder nicht. Es kann nat"urlich auch vorkommen, da"s keiner der beiden Z"ahler
angesprochen hat. \newline  
a) Wie gro"s sind die Ansprechwahrscheinlichkeiten der beiden Z"ahler, einschlie"slich 
ihrer Fehler ? \newline
b) Wie gro"s sind die Ansprechwahrscheinlichkeiten der beiden Z"ahler unter der
Vorraussetzung, da"s der jeweils andere Z"ahler angesprochen hat ? Bestimmen Sie auch hier die Fehler. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Resultat von Teil a). \newline
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{\bf Aufgabe 3: Zentraler Grenzwertsatz} \newline
a) Schreiben Sie ein ROOT- Script, in dem eine Gleichverteilung mit Mittelwert 0 und
Varianz 1 erzeugt wird. Tragen Sie die Verteilung in einem Histogramm auf. \newline
b) Erzeugen Sie ein zweites Histogramm, in dem jeweils die Summe von 9 gleichverteilten
Zufallszahlen von Teil a) geplottet werden. Zeichnen Sie die von Ihnen erwartete
Verteilung in das Histogramm ein. \newline
c) Erzeugen Sie eine (ungef"ahr) gleiche Gausverteilung wie in Teil b) aus einer Summe (Differenz) von
10 exponentiell- verteilten Zufallszahlen \tt (gRandom->Exp($\tau$)) \rm.  
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{\bf Aufgabe 4: Nochmals Geigerz"ahler} (Zusatzaufgabe) \newline
a) Wir ver"andern das Experiment von Aufgabe 2, da"s wir jetzt  10 Geigerz"ahler mit einer Ansprechwahrscheinlichkeit von jeweils $95\%$ hintereinander in den Strahlengang stellen. 
Tragen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung f"ur die Zahl der
angesprochenen Z"ahler in einem Histogramm auf und zeichnen Sie die erwartete Funktion
ein. \newline
b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, da"s mindestens ein Z"ahler bei der Messung fehlt$\;$? 
\end{document}
