8. Übung
Bearbeitung vom 13.12.06 - 18.12.06
Bearbeiten Sie mindestens 2 der folgenden 3 Aufgaben:
Aufgabe 1: Random Numbers
a) Zufallszahlen können mit der Rekursionsrelation

\begin{displaymath}x_{n+1}=mod(a_0 x_n + a_1 x_{n-1} + ... + a_j x_{n-j} + b,M)\end{displaymath}

erzeugt werden. Hierbei sind die $x_n, x_{n-1},...,x_{n-j}$ die in den $j$ vorherigen Aufrufen erzeugten Zufallszahlen. Die $a_k,k=1,...,j$ und $b$ sind Konstanten. M sollte möglichst groß gewählt werden. Alle auf der rechten Seite stehenden Parameter sowie die Startwerte $x_0,x_1,...,x_j$ dürfen keine gemeinsamen Teiler haben, ausser der 1 natürlich. Diese Forderung folgt aus der Zahlentheorie.
Schreiben Sie eine Klasse, die einen einfachen Generator für gleichverteilte Zufallszahlen mit der einfachsten Relation

\begin{displaymath}x_{n+1} = mod(a x_{n} + b,M)\end{displaymath}

implementiert. Wählen sie große Primzahlen für die Parameter und den Startwert und füllen sie ein Histogramm mit den Ereignissen, um die Verteilung zu überprüfen.
b) Es gibt verschiedene Methoden, einen Zufallszahlengenerator graphisch zu überprüfen. Führen sie für verschiedene Parameter und Startwerte folgende Plots durch:
- $x_{i}$ über $i$
- $x_{i}$ über $x_{i+1}$
- Dreidimensional: 3-Tupel aus $x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2}$
Finden sie einige Beispiele für Parameter, die zu besonders schlechten Ergebnissen führen. Warum ist dies der Fall ? Warum sollte man nie $b=0$ setzen?
Aufgabe 2: Radioaktiver Zerfall
Die Datei data.txt enthält die Messung der Aktivität eines radioaktiven Präparates. Nehmen Sie an, daß die Zählraten auf $1\%$ genau gemessen worden sind.
a) Verwenden Sie das Programm double_decay.C um die mittlere Lebensdauer $\tau$ zu ermitteln, einmal mit einem Fit an die Verteilung als Funktion der Zeit, zum anderen aus dem $\chi^{2}$ als Funktion der Lebensdauer $\tau$. Sie werden feststellen, daß der Fit kein befriedigendes Ergebnis liefert und auch die $\chi^{2}$- Funktion ''krank'' aussieht.
b) Führen Sie den Fit mit einer erweiterten Hypothese durch (Hinweis: Bei radioaktiven Zerfällen können mehrere konkurierende Zerfallskanäle mit verschiedenen Lebensdauern auftreten). Aufgabe 3: $\chi^{2}$- Verteilung und Maxwell Verteilung
a) Die Summe der Quadrate von $n$ Zufallszahlen einer Standard- Normalverteilung gehorcht der $\chi^{2}$- Verteilung mit $n$ Freiheitsgraden:

\begin{displaymath}
y = \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y \in \chi^{2}[n] \; \; \; wenn \; \; x_{i} \in N[0,1].
\end{displaymath}

Entwickeln Sie hieraus einen Algorithmus zur Simulation der $\chi^{2}$- Verteilung.
b) Erzeugen Sie in ROOT einen Canvas und und bilden ein Histogramm mit 10000 Einträgen für die $\chi^{2}$- Verteilung mit $3$ Freiheitsgraden.
c) Mit der Variablentransformation $y = m v^{2}/(kT)$ und $n=3$ erhält man aus der $\chi^{2}$- Verteilung die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung von Atomen oder Molekülen in einem idealen Gas. Hierbei ist $m$ die Masse der Moleküle, $T$ die Temperatur und $k$ die Boltzmann- Konstante. Für Stickstoff ist $m/k = 0.0035 K/(m/s)^{2}$. Entwickeln Sie hieraus einen Generator für die Simulation der Geschwindigkeitsverteilung von Stickstoff- Molekülen. Plotten Sie die Verteilung im gleichen Canvas wie in Teil a) bei einer Temperatur von $300 \; K$. Wie groß ist insbesondere die mittlere Geschwindigkeit ?
d) Die analytische Form der Maxwell- Verteilung ist

\begin{displaymath}
p(v) = 4 \pi \left( \frac{m}{2\pi k T}\right)^{3/2} v^{2} e^{-mv^{2}/2kT}.
\end{displaymath}

Vergleichen Sie die analytische Form mit den generierten Ereignissen.



Harm Fesefeldt
2006-12-12