\documentstyle[11pt,german,epsfig,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\centerline{8. "Ubung}
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\centerline{Bearbeitung vom 13.12.06 - 18.12.06}
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{\bf Bearbeiten Sie mindestens 2 der folgenden 3 Aufgaben:} \newline \vskip 0.1cm
{\bf Aufgabe 1: Random Numbers} \newline
a) Zufallszahlen k"onnen mit der Rekursionsrelation
\[x_{n+1}=mod(a_0 x_n + a_1 x_{n-1} + ... + a_j x_{n-j} + b,M)\]
erzeugt werden. Hierbei sind die $x_n, x_{n-1},...,x_{n-j}$ die in den $j$ vorherigen Aufrufen erzeugten Zufallszahlen. Die $a_k,k=1,...,j$ und $b$ sind Konstanten. M sollte m"oglichst gro"s gew"ahlt werden. Alle auf der rechten Seite stehenden Parameter sowie die Startwerte $x_0,x_1,...,x_j$ d"urfen keine gemeinsamen Teiler haben, ausser der 1 nat"urlich. Diese Forderung folgt aus der Zahlentheorie.\\
Schreiben Sie eine Klasse, die einen einfachen Generator f"ur gleichverteilte Zufallszahlen mit der einfachsten Relation
\[x_{n+1} = mod(a x_{n} + b,M)\]
implementiert. W"ahlen sie gro"se Primzahlen f"ur die Parameter und den Startwert und f"ullen sie ein Histogramm mit den Ereignissen, um die Verteilung zu "uberpr"ufen.\\
b) Es gibt verschiedene Methoden, einen Zufallszahlengenerator graphisch zu "uberpr"ufen. F"uhren sie f"ur verschiedene Parameter und Startwerte folgende Plots durch:\\
- $x_{i}$ "uber $i$\\
- $x_{i}$ "uber $x_{i+1}$\\
- Dreidimensional: 3-Tupel aus $x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2}$\\
Finden sie einige Beispiele f"ur Parameter, die zu besonders schlechten Ergebnissen f"uhren. Warum ist dies der Fall ? Warum sollte man nie $b=0$ setzen? \newline \vskip 0.1cm
{\bf Aufgabe 2: Radioaktiver Zerfall}\newline
Die Datei \tt data.txt \rm enth"alt die Messung der Aktivit"at eines radioaktiven Pr"aparates. 
Nehmen Sie an, da"s die Z"ahlraten auf $1\%$ genau gemessen worden sind. \newline
a) Verwenden Sie das Programm \tt double$\_$decay.C \rm um die mittlere Lebensdauer $\tau$ zu ermitteln, einmal mit einem Fit
an die Verteilung als Funktion der Zeit, zum anderen aus dem $\chi^{2}$ als Funktion der Lebensdauer $\tau$.
Sie werden feststellen, da"s der Fit kein befriedigendes Ergebnis liefert und auch die $\chi^{2}$- Funktion
''krank'' aussieht. \newline
b) F"uhren Sie den Fit mit einer erweiterten Hypothese durch (Hinweis: Bei radioaktiven Zerf"allen
k"onnen mehrere konkurierende Zerfallskan"ale mit verschiedenen Lebensdauern auftreten). 
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{\bf Aufgabe 3: $\chi^{2}$- Verteilung und Maxwell Verteilung} \newline
a) Die Summe der Quadrate von $n$  Zufallszahlen einer 
Standard- Normalverteilung gehorcht der $\chi^{2}$- Verteilung mit $n$ Freiheitsgraden: 
\begin{displaymath}
y = \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}, \; \; \; \; \; \; \; \; \;  \; y \in \chi^{2}[n] \; \; \; wenn \; \; x_{i} \in N[0,1].
\end{displaymath}
Entwickeln Sie hieraus einen Algorithmus zur Simulation der
$\chi^{2}$- Verteilung. \newline
b) Erzeugen Sie in \tt ROOT \rm einen Canvas und und bilden ein Histogramm mit 10000 Eintr"agen f"ur
die $\chi^{2}$- Verteilung mit $3$ Freiheitsgraden. \newline
c) Mit der Variablentransformation  $y = m v^{2}/(kT)$ und $n=3$ erh"alt man aus der $\chi^{2}$-
Verteilung die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung von Atomen oder Molek"ulen in einem idealen Gas.
Hierbei ist $m$ die Masse der Molek"ule, $T$ die Temperatur und $k$ die Boltzmann- Konstante.
F"ur Stickstoff ist $m/k = 0.0035 K/(m/s)^{2}$. 
Entwickeln Sie hieraus einen Generator f"ur die Simulation der Geschwindigkeitsverteilung
von Stickstoff- Molek"ulen.  Plotten Sie die Verteilung im
gleichen Canvas wie in Teil a) bei einer Temperatur von $300 \; K$. Wie gro"s ist insbesondere
die mittlere Geschwindigkeit ?\newline
d) Die analytische Form der Maxwell- Verteilung ist 
\begin{displaymath}
p(v) = 4 \pi \left( \frac{m}{2\pi k T}\right)^{3/2} v^{2} e^{-mv^{2}/2kT}.
\end{displaymath}
Vergleichen Sie die analytische Form mit den generierten Ereignissen.
\end{document}
