Lösungen zur 13. Übung

Bearbeitung vom 31.01.07 - 5.02.07

Aufgabe 1: Fehlerfortpflanzung
Wir erwarten auf jeden Fall eine starke Korrelation. Wir setzen

$$a = \frac{\sigma_{m}}{m}, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b = \frac{\sigma_{v}}{v}$$

dann wird die Kovarianzmatrix

$$V = \left( \begin{array}{cc} v & m \\ v^{2}/2 & mv \end{arra... ...t( \begin{array}{cc} v & v^{2}/2 \\ m & mv \end{array} \right)$$

Ausmultiplizieren der Matrizen ergibt

$$V = \left( \begin{array}{cc} (a^{2}+b^{2})m^{2}v^{2} & (a^{2... ...2})m^{2}v^{3} & (a^{2}/4 +b^{2})m^{2}v^{4} \end{array} \right)$$

Der Korrelationskoeffizient wird

$$\rho = \frac{a^{2}/2 + b^{2}}{\sqrt{(a^{2}+b^{2})(a^{2}/4+b^{2})}}$$

Für $a = 0$ oder $b=0$ wird immer $\rho = 1$. Für $a = b$ erhalten wir $\rho = 3/\sqrt{10} \approx 0.95$. Für die Zahlen in der Aufgabenstelllung erhält man $\rho \approx 0.998$.
Aufgabe 2: Variablentransformation
Die Transformation führt auf die Umkehrung

$$x_{1} = \frac{y_{1}y_{2}}{1+y_{2}} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x_{2} = \frac{y_{1}}{1+y_{2}}$$

Die Jakobian- Matrix ist

$$S = \left( \begin{array}{cc} \frac{y_{2}}{1+y_{2}} & \frac{y... ...}{1+y_{2}} & - \frac{y_{1}}{(1+y_{2})^{2}} \end{array} \right)$$

Die Determinante dieser Matriz ist

$$J(y_{1},y_{2}) = \frac{\vert y_{1}\vert}{(1+y_{2})^{2}}$$

Damit erhalten wir

$$p(y_{1},y_{2}) = \frac{1}{2 \pi} J(y_{1},y_{2}) exp^{-(x_{1}... ...{2})^{2}} e^{-\frac{y_{1}^{2}(1+y_{2}^{2})} {2 (1+y_{2})^{2}}}$$

Integration über $y_{1}$ liefert mit dem angegebenen Integral

$$p(y_{2}) = \frac{1}{\pi} \; \frac{1}{1+y_{2}^{2}}$$

b) Wir erhalten also eine Veränderliche einer Cauchy- Verteilung, in dem wir zwei normal verteilte Veränderliche durcheinander dividieren. Das Programm ist in vartrans.C gelistet.
Aufgabe 3: Maximum Likelihood
Der Wichtigkeit wegen nochmal ein Maximum Likelihood. Im Programm poisson.C vom Aufgabenblatt 12 haben wir im wesentlich nur die Poisson- Verteilung durch die Exponentialverteilung ersetzt. Das Programm ist expo.C . Der Wert ist $\tau = 2.38 ^{+0.74}_{-0.52}$, also verträglich mit dem Literaturwert.