Lösungen zur 12. Übung

Bearbeitung vom 24.01.07 - 29.01.07

Aufgabe 1: Variablentransformation
Wegen der Erhaltung der Wahrscheinlichkeit muss

$$\chi^{2}(x) dx = f(v) dv$$

sein, daher

$$f(v) = \frac{dx}{dv} \chi^{2}(x)$$

Mit $x =m v^{2} /kT$, $dx/dv = 2 m v/kT$ und $n = 3$ folgt

$$f(v) = \frac{1}{2^{3/2} \Gamma(3/2)} \; \frac{2 m v}{kT} \left( \frac{m v^{2}}{kT} \right)^{1/2} e^{-m v^{2}/2kT}$$

Umformung des Ausdrucks und Einsetzen von $\Gamma(3/2) = \sqrt{\pi}/2$ liefert dann die im Übungsblatt angegebene Formel.

Aufgabe 2: Zweidimensionale Verteilungen
In der ersten Verteilung ist die Wahrscheinlichkeitsdichte nur in einem Dreieck in der $x$-$y$- Ebene von Null verschieden, das durch die Punkte (0,0), (0,1) und (1,1) definiert ist. Daher sind $x$ und $y$ korreliert. Die Randverteilungen sind:

$$f(x) = \int_{x}^{1} 2 \; dy = 2 (1 - x)$$

$$f(y) = \int_{0}^{y} 2 \; dy = 2 y$$

Bei der zweiten Verteilung sind die Variablen unkorreliert, da

$$f(x,y) = x e^{-x} e^{-y} = f(x) f(y)$$

Hier sind $f(x)$ und $f(y)$ direkt die Randverteilungen.
In der letzen Verteilung sind $x$ und $k$ korreliert mit den Randverteilungen

$$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k!} x^{k}$$

$$f(k) = (k+1) e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k!} \int_{0}^{1} x^{k} dx = e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k!}$$

Wegen des Terms $(k+1)$ läßt sich die Summe nicht mehr vereinfachen.
Aufgabe 3: Korrelationen
Die Stichproben haben alle drei die gleichen Mittelwerte und Varianzen, unterscheiden sich lediglich im Korrelationskoeffizienten. Im File1 ist $\rho = 0$, im File2 ist $\rho = 0.9$, im File3 ist wiederum $\rho = 0$, allerdings ist die Verteilung trotzdem extrem korreliert (siehe pict1.gif, pict2.gif und pict3.gif ). Das Analyseprogramm ist in correlation.C angegeben.