\documentstyle[11pt,german,epsfig,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\LARGE
\centerline{L"osungen zur 12. "Ubung}
\large
\centerline{Bearbeitung vom 24.01.07 - 29.01.07}
\vskip 0.5cm
\normalsize
{\bf Aufgabe 1: Variablentransformation} \newline
Wegen der Erhaltung der Wahrscheinlichkeit muss
\begin{displaymath}
\chi^{2}(x) dx = f(v) dv
\end{displaymath}
sein, daher
\begin{displaymath}
f(v) = \frac{dx}{dv} \chi^{2}(x)
\end{displaymath}
Mit $x =m v^{2} /kT$, $dx/dv = 2 m v/kT$ und $n = 3$ folgt 
\begin{displaymath}
f(v) = \frac{1}{2^{3/2} \Gamma(3/2)} \; \frac{2 m v}{kT} \left( \frac{m v^{2}}{kT}
\right)^{1/2} e^{-m v^{2}/2kT}
\end{displaymath}
Umformung des Ausdrucks und Einsetzen von $\Gamma(3/2) = \sqrt{\pi}/2$ liefert dann
die im "Ubungsblatt angegebene Formel.

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{\bf Aufgabe 2: Zweidimensionale Verteilungen} \newline
In der ersten Verteilung ist die Wahrscheinlichkeitsdichte  nur in einem Dreieck
in der $x$-$y$- Ebene von Null verschieden, das durch die Punkte (0,0), (0,1) und (1,1)
definiert ist. Daher sind $x$ und $y$ korreliert.
Die Randverteilungen sind: 
\begin{eqnarray}
f(x) &=& \int_{x}^{1} 2 \; dy = 2 (1 - x)   \nonumber \\
f(y) &=& \int_{0}^{y} 2 \; dy = 2 y \nonumber 
\end{eqnarray}
Bei der zweiten Verteilung sind die Variablen unkorreliert, da
\begin{displaymath}
f(x,y) = x e^{-x} e^{-y} = f(x) f(y) 
\end{displaymath}
Hier sind $f(x)$ und $f(y)$ direkt die Randverteilungen. \newline
In der letzen Verteilung sind $x$ und $k$ korreliert mit den Randverteilungen
\begin{eqnarray}
f(x) &=& \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k!} x^{k} \nonumber \\
f(k) &=& (k+1) e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k!} \int_{0}^{1} x^{k} dx
=  e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k!} \nonumber
\end{eqnarray}
Wegen des Terms $(k+1)$ l"a"st sich die Summe nicht mehr vereinfachen. 
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{\bf Aufgabe 3: Korrelationen} \newline
Die Stichproben haben alle drei die gleichen Mittelwerte und Varianzen, unterscheiden sich 
lediglich im Korrelationskoeffizienten. Im File1 ist $\rho = 0$, im File2
ist $\rho = 0.9$, im File3 ist wiederum $\rho = 0$, allerdings ist die Verteilung trotzdem
extrem korreliert (siehe \tt pic1.gif, pic2.gif \rm und \tt pic3.gif \rm ). Das Analyseprogramm
ist in \tt correlation.C \rm angegeben.  
\end{document}
