\documentstyle[11pt,german,epsfig,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\centerline{10. "Ubung}
\large
\centerline{Bearbeitung vom 10.01.07 - 15.01.07}
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\normalsize
{\bf Aufgabe 1: Transformationsmethode} \newline
Das Integral ist in diesem Fall
\begin{displaymath}
P(\xi) = \int_{-\infty}^{\xi} \frac{1}{\pi(1+x^{2}} dx = \frac{1}{\pi} \left[ arctg(x) \right]_{-\infty}^{\xi}
= \frac{1}{\pi} arctg(\xi) + \frac{1}{2}
\end{displaymath}
Wir w"urfeln eine Zahl $u \in U[0,1]$ und setzen $P(\xi) = u$. Die Umkehrung ist dann
\begin{displaymath}
\xi = tan(\pi(u-0.5))
\end{displaymath}
$\xi$ ist dann eine Ver"anderliche aus einer Cauchy- Verteilung. Das Program ist zusammen mit dem Programm von
Aufgabe 2 in \tt Cauchy$\_$BreitWigner.C \rm gelistet.
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{\bf Aufgabe 2: R"uckweisungsmethode} \newline
Die modifizierte Breit-Wigner Verteilung ist noch nicht auf 1 normiert. Bei Benutzung der R"uckweisungsmethode
braucht man die Normierung nicht zu kennen, man mu"s lediglich das Maximum der Funktion bestimmen, damit die Effizienz
maximal wird. 
Das Programm ist in \tt Cauchy$\_$BreitWigner.C \rm enthalten. Die Effizienz ist ca. $25 \%$.
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{\bf Aufgabe 3: Stichproben} \newline
Wir schreiben
\begin{eqnarray}
(n-1) s^{2} &=& \sum_{i} (x_{i} - \overline{x})^{2} \nonumber \\
            &=& \sum_{i} (x_{i}^{2} - 2 x_{i} \overline{x} + \overline{x}^{2} ) \nonumber \\
            &=& \sum_{i} x_{i}^{2} - 2 \overline{x} \sum_{i} x_{i} + \sum_{i} \overline{x}^{2} \nonumber \\
            &=& \sum_{i} x_{i}^{2} - 2 \overline{x} n \overline{x} + n \overline{x}^{2} \nonumber \\
            &=& \sum_{i} x_{i}^{2} - n \overline{x}^{2} \nonumber 
\end{eqnarray}
Wir bilden jetzt die Erwartungswerte auf beiden Seiten:
\begin{eqnarray}
< (n-1) s^{2}> &=& < \sum_{i} x_{i}^{2} > - n < \overline{x}^{2} > \nonumber \\
               &=& \sum_{i} < x_{i}^{2} > -  n < \overline{x}^{2} > \nonumber \\
               &=& n \sigma^{2} -n < \overline{x}^{2} > \nonumber 
\end{eqnarray}
Der rechts stehende Ausdruck ist
\begin{displaymath}
< \overline{x}^{2} > = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i,j} <x_{i} x_{j}> \delta_{ij} 
= \frac{1}{n^{2}} \sum_{i} < x_{i}^{2} > = \frac{\sigma^{2}}{n}
\end{displaymath}
Eingesetzt in den obigen Ausdruck folgt
\begin{displaymath}
<(n-1) s^{2} > = n \sigma^{2} - \sigma^{2} = (n-1) \sigma^{2}
\end{displaymath}
oder eben $< s^{2} > = \sigma^{2}$.  
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{\bf Aufgabe 4: Nochmal eine Stichprobe} (Zusatzaufgabe) \newline
F"ur gro"se Werte von $N$ erh"alt man nat"urlich perfekte "Ubereinstimmung von $\overline{S^{2}}$ mit dem
$\sigma^{2}$ von Aufgabe 2. F"ur kleine Werte von $N$ ist die "Ubereinstimmung  nicht ganz so
gut (???). Das Programm ist in \tt Average.C \rm gelistet.
\end{document}
