Lösungen zur 9. Übung
Bearbeitung vom 20.12.06 - 9.01.07
Aufgabe 1: Standardabweichung
Es gilt:
$\displaystyle <(x - <x>)^2>$ $\textstyle =$ $\displaystyle < x^2 - 2x<x> + <x>^2 > = <x^2> - 2<x><x> + <x>^2$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle <x^2> - 2<x>^2 + <x>^2 = <x^2> - <x>^2.$  

Aufgabe 2: Geigerzähler
a) Sei $n$ die Anzahl aller Ereignisse, dann sind die Ansprechwahrscheinlickeiten gegeben durch
$\displaystyle p_{1}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{n_{1}}{n} \pm \sqrt{\frac{p_{1}(1-p_{1})}{n}}$  
$\displaystyle p_{2}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{n_{2}}{n} \pm \sqrt{\frac{p_{2}(1-p_{2})}{n}}$  

b) Da das Ansprechen der Zähler unanhängig voneinander sein sollte, kann man sich für den Zähler 1 auf die Ereignisse beschränken, bei denen der Zähler 2 angesprochen hat. Dasselbe gilt umgekehrt für den zweiten Zähler. Dann ist also
$\displaystyle p_{1}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{n_{12}}{n_{2}} \pm \sqrt{\frac{p_{1}(1-p_{1})}{n_{2}}}$  
$\displaystyle p_{2}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{n_{12}}{n_{1}} \pm \sqrt{\frac{p_{2}(1-p_{2})}{n_{1}}}$  

wobei $n_{12}$ die Anzahl der Ereignisse mit beiden Zählern sind. Das Analyseprogramm ist in zaehler.C gelisted.
Aufgabe 3: Zentraler Grenzwertsatz
Das Programm ist in grenzwert.C gelisted. Im Teil c) muß die Standardabweichung der Exponentialverteilung etwas kleiner als 1 gewählt werden, da wir 10 statt 9 Zufallszahlen addieren (subtrahieren).

Aufgabe 4: Nochmals Geigerzähler (Zusatzaufgabe)
Wir erzeugen uns eine Binomialverteilung mit $p=0.95$ und $N=10$. In den Plot wurden zwei Funktionen eingezeichnet. Die gelben Punkte sind die Erwartungen einer exakten Binomialverteilung. Bei den blauen Punkten benutzen wir die Approximation einer Binomialverteilung durch eine Poissonverteilung mit Mittelwert $\lambda = (1-p)*10 = 0.5$. Wir berechnen also die Verteilung für das Auftreten eines Nicht-Ansprechens der Zähler. Die Lösung ist in zaehler10.C gelistet.



Harm Fesefeldt
2006-12-19