\documentstyle[11pt,german,epsfig,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\centerline{L"osungen zur 9. "Ubung}
\large
\centerline{Bearbeitung vom 20.12.06 - 9.01.07}
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{\bf Aufgabe 1: Standardabweichung} \newline
Es gilt:
\begin{eqnarray}
<(x - <x>)^2> &=& < x^2 - 2x<x> + <x>^2 > = <x^2> - 2<x><x> + <x>^2 \nonumber \\
              &=& <x^2> - 2<x>^2 + <x>^2 = <x^2> - <x>^2. \nonumber
\end{eqnarray} 
{\bf Aufgabe 2: Geigerz"ahler} \newline
a) Sei $n$ die Anzahl aller Ereignisse, dann sind die Ansprechwahrscheinlickeiten
gegeben durch
\begin{eqnarray}
p_{1} &=& \frac{n_{1}}{n} \pm \sqrt{\frac{p_{1}(1-p_{1})}{n}} \nonumber \\
p_{2} &=& \frac{n_{2}}{n} \pm \sqrt{\frac{p_{2}(1-p_{2})}{n}} \nonumber
\end{eqnarray}
b) Da das Ansprechen der Z"ahler unanh"angig voneinander sein sollte, kann man sich
f"ur den Z"ahler 1 auf die Ereignisse beschr"anken, bei denen der Z"ahler 2 angesprochen hat.
Dasselbe gilt umgekehrt f"ur den zweiten Z"ahler. Dann ist also
\begin{eqnarray}
p_{1} &=& \frac{n_{12}}{n_{2}} \pm \sqrt{\frac{p_{1}(1-p_{1})}{n_{2}}} \nonumber \\
p_{2} &=& \frac{n_{12}}{n_{1}} \pm \sqrt{\frac{p_{2}(1-p_{2})}{n_{1}}} \nonumber
\end{eqnarray}
wobei $n_{12}$ die Anzahl der Ereignisse mit beiden Z"ahlern sind. 
Das Analyseprogramm ist in \tt zaehler.C \rm gelisted.
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{\bf Aufgabe 3: Zentraler Grenzwertsatz} \newline
Das Programm ist in \tt grenzwert.C \rm gelisted. Im Teil c) mu"s die Standardabweichung 
der Exponentialverteilung etwas kleiner als 1 gew"ahlt werden, da wir 10 statt 9 Zufallszahlen
addieren (subtrahieren). \newline 
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{\bf Aufgabe 4: Nochmals Geigerz"ahler} (Zusatzaufgabe) \newline
Wir erzeugen uns eine Binomialverteilung mit $p=0.95$ und $N=10$. In den Plot wurden
zwei Funktionen eingezeichnet. Die gelben Punkte sind die Erwartungen einer exakten
Binomialverteilung. Bei den blauen Punkten
benutzen wir die Approximation einer Binomialverteilung durch eine Poissonverteilung mit
Mittelwert $\lambda = (1-p)*10 = 0.5$. Wir berechnen also die Verteilung f"ur das Auftreten
eines Nicht-Ansprechens der Z"ahler. Die L"osung ist in \tt zaehler10.C \rm gelistet. 
\end{document}
