Lösungen zur 4. Übung

Bearbeitung vom 8.11.06 - 13.11.06

Aufgabe 1: Numerische Differentiationen
a) Mein Programm mit der 5-Punkt Formel ist in newton_cos.cc gelistet.
b) Auf den ersten Blick könnte man erwarten, daß für jeden Startwert Konvergenz erreicht wird. Das ist allerdings nicht der Fall. Die Änderung in jedem Schritt ist:

$$\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{sinh(x) cosh^{2}(x)}{cosh(x)} = \frac{1}{2} sinh(2x).$$

Für Werte $\vert x>1\vert$ wird

$$\vert\frac{f(x)}{f'(x)}\vert > \vert 2x\vert.$$

Daher springen die Iterationen von positiven nach negativen Werten und umgekehrt immer weiter gegen Unendlich. Meine Test-Program ist in newton_tanh.cc gelistet
Aufgabe 2: Fourieranalyse
In meinem Programm test_hebbeker1.cc habe ich zwei Methoden implementiert, einmal die im Skript angegebene Summation, zum anderen eine Integration mit dem Simpson- Verfahren. Zur Sicherheit habe ich mir noch eine eigene Funktion fesefeldt1.cc mit bekannten Fourierkoeffizienten erzeugt und das Analyseprogramm damit getested.
Aufgabe 3: Differentialgleichungen (Zusatzaufgabe)
Die Näherungsformeln für $f(x\pm h)$ und $f(x\pm 2h)$ sind bis auf $O(h^{4})$ genau. Daher erwarten wir eine Genauigkeit von $O(h^{2})$ für $f_{5pt}''(x)$ und $O(h^{3})$ für $f_{5pt}'(x)$. Das Prüfprogramm in dgl.cc liefert allerdings wieder eine Genauigkeit von etwa $O(h^{4})$:

h	$\epsilon$
0.1	$\approx 10^{-6}$
0.01	$\approx 10^{-10}$
0.001	$\approx 10^{-10}$
0.0001	$\approx 10^{-10}$
0.00001	$\approx 10^{-7}$
0.000001	$\approx 10^{-5}$

Offensichtlich canceln sich die Ungenauigkeiten durch die Summenbildungen teilweise wieder heraus. Ab einem $h \approx 10^{-4}$ spielt die Rechengenaugkeit unserses Rechners nicht mehr mit.