Übung Nr.8

Besprechung: Donnerstag, d. 15. Dezember 2005

Aufgabe 1:
Der Abstand zwischen den Zentren von Erde und Mond ist $r = 385000 \; km$. Beide kreisen um einen gemeinsamen Schwerpunkt. Die Mondmasse beträgt 1/81 der Erdmasse $m_{E}$. Nehmen Sie vereinfachend an, daß die Zentralbewegung des Mondes auf einer Kreisbahn erfolgt (die wirkliche Exzentrizität beträgt $5,5\%$). Vernachlässigen Sie weiterhin den Einfluß der Gravitation aller anderen Planeten und der Sonne.
a) In welchem Punkt der Erde liegt das Zentrum der Mondbahn ?
b) Wie groß ist die Umlaufdauer $T$ des Mondes um die Erde unter Berücksichtigung der Bewegung der Erde ?
Aufgabe 2:
Sei $a$ die große Halbachse der Ellipsenbahn eines Planeten der Masse $m$ um die Sonne der Masse $M$. Beweisen Sie, daß für die Gesamtenergie des Planeten gilt (siehe auch Skript Teil 7, Seite 5, Formel (3)):

$$E_{ges} = - G \frac{m M}{2a}.$$

Aufgabe 3:
Zwei Satelliten werden vom Äquator der Erde mit der Geschwindigkeit $v_{0} = 10 \; km/s$ in horizontaler Richtung abgeschossen, und zwar einer nach Westen, der andere nach Osten. Der Radius der Erde ist $R_{E} = 6370 \; km$, die Winkelgeschwindigkeit der Eigenrotation beträgt $\omega = 7,27 \cdot 10^{-5} \; s^{-1}$.
a) Wie groß sind die maximalen Abstände der beiden Satelliten vom Erdmittelpunkt ?
b) Skizzieren Sie die Bahnen der beiden Satelliten.
c) Wie groß müßte die Abschußgeschwindigkeit sein, damit zumindest einer der beiden Satelliten den Anziehungsbereich der Erde verläßt und für immer im Weltall verschwindet$\;$?