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\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{\"Ubung Nr.8}
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\centerline{\bf Besprechung: Donnerstag, d. 15. Dezember 2005}
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{\bf Aufgabe 1:} \newline
Der Abstand zwischen den Zentren von Erde und Mond ist $r = 385000 \; km$. Beide kreisen um einen gemeinsamen
Schwerpunkt. Die Mondmasse betr"agt 1/81 der Erdmasse $m_{E}$. Nehmen Sie vereinfachend an, da"s die Zentralbewegung des 
Mondes auf einer Kreisbahn erfolgt (die wirkliche Exzentrizit"at betr"agt $5,5\%$). Vernachl"assigen Sie weiterhin
den Einflu"s der Gravitation aller anderen Planeten und der Sonne. \newline
a) In welchem Punkt der Erde liegt das Zentrum der Mondbahn ? \newline
b) Wie gro"s ist die Umlaufdauer $T$ des Mondes um die Erde unter Ber"ucksichtigung der Bewegung der Erde ?  
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{\bf Aufgabe 2:} \newline
Sei $a$ die gro"se Halbachse der Ellipsenbahn eines Planeten der Masse $m$ um die Sonne der Masse $M$. Beweisen Sie,
da"s f"ur die Gesamtenergie des Planeten gilt (siehe auch Skript Teil 7, Seite 5, Formel (3)):
\begin{displaymath}
E_{ges} = - G \frac{m M}{2a}.
\end{displaymath}
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{\bf Aufgabe 3:}  \newline
Zwei Satelliten werden vom "Aquator der Erde mit der Geschwindigkeit $v_{0} = 10 \; km/s$ in horizontaler Richtung
abgeschossen, und zwar einer nach Westen, der andere nach Osten. Der Radius der Erde ist $R_{E} = 6370 \; km$, die
Winkelgeschwindigkeit der Eigenrotation betr"agt $\omega = 7,27 \cdot 10^{-5} \; s^{-1}$. \newline
a) Wie gro"s sind die maximalen Abst"ande der beiden Satelliten vom Erdmittelpunkt ? \newline
b) Skizzieren Sie die Bahnen der beiden Satelliten. \newline
c) Wie gro"s m"u"ste die Abschu"sgeschwindigkeit sein, damit zumindest einer der beiden Satelliten den
Anziehungsbereich der Erde verl"a"st und f"ur immer im Weltall verschwindet$\;$? 
\end{document}
