Übung am Donnerstag, d. 27. Oktober 2005
Taylorentwicklung einer Funktion
Wir hatten in der ersten Übungsstunde die Formel
wobei
sein muss. Man kann also den Funktionswert an der Stelle näherungsweise
berechnen, wenn man den Funktionswert und die Ableitung an der Stelle kennt:
Diese Formel kann verallgemeinert werden zur sogenannten Taylorentwicklung:
Man kann also den Funktionswert an der Stelle (exakt), wenn man alle Ableitungen kennt ( ist die zweifache
Ableitung, die dreifache Ableitung). In der Physik ist insbesondere der Fall wichtig.
Für setzt man jetzt gerne wieder ein, daher schreibt man auch
Ein einfaches (aber häufig vorkommendes) Beispiel ist
. Die Ableitungen sind:
Wir können also näherungsweise schreiben (beachte: , , allgemein
)
oder, anders geschrieben:
In der folgenden Tabelle haben wir noch einmal die wichtigsten Funktionen der Physik mit ihren ersten Entwicklungskoeffizienten
aufgeführt. Diese Formeln gelten aber nur, solange ist.
Harm Fesefeldt
2005-10-28