Übung am Donnerstag, d. 20. Oktober 2005

Ableitung einer Funktion
Einer gegebenen Funktion wird durch eine gewisse Vorschrift eine neue Funktion zugeordnet, die man die abgeleitete Funktion oder kurz Ableitung nennt. Diese Vorschrift soll zunächst rein geometrisch dargestellt werden. Ist $y = f(x)$ die Originalfunktion, so soll dieser als neue Kurve die Steigung der Kurve zugeordnet werden. Was ist aber die Steigung. Im Strassenbau und Eisenbahnbau dient als Maß für die Steigung der Sinus (siehe links in der folgenden Abbildung). Wenn man auf $100 \; m$ Strassenlänge einen Anstieg von $1,5 \; m$ hat, so nennt man dieses eine Steigung von $1,5/100 = 0,015$ oder $1,5 \%$.
Abbildung 1: Die Steigung im Strassenbau und in der Mathematik
\begin{figure}\centerline{\epsfig{file=FIG1.eps,scale=0.5} \epsfig{file=FIG2.eps,scale=0.5}}\end{figure}
Im Gegensatz dazu berechnet man in der Mathematik die Steigung durch den Tangens des Steigungswinkels (siehe rechte Abbildung oben), d.h. durch den Höhenzuwachs bezogen auf die Länge in der Horizontalen. Für jeden Punkt $x$ der Originalkurve $y = f(x)$ gibt die Ordinate der abgeleiteten Kurve $y' = f'(x)$ die Steigung der Originalkurve an, gemessen durch den Tangens des Winkels, den die Kurventangente mit der $x$-Achse einschließt.
Abbildung 2: Die Steigung einer Funktion als Tangente in einem Punkt
\begin{figure}\centerline{\epsfig{file=FIG3.eps,scale=0.5}}\end{figure}
Wie berechnet man nun die Ableitung einer gegebenen Funktion $f(x)$ ? Dazu betrachten wir die Funktion an der Stelle $x$ und einer Nachbarstelle $x+h$ mit den Funktionswerten $f(x)$ und $f(x+h)$. Die Zunahme zwischen $x$ und $x+h$ ist $f(x+h) - f(x)$. Die durchschnittliche Steigung auf der Strecke $h$ ist

\begin{displaymath}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{displaymath}

Abbildung 3: Die Steigung als Grenzwert des Differentialquotienten
\begin{figure}\centerline{\epsfig{file=FIG4.eps,scale=0.5}}\end{figure}
Die tatsächliche Steigung im Punkte $x$ erhält man, indem man die Strecke $h$ immer kleiner werden läßt. Mathematisch macht man den Grenzübergang $h \rightarrow 0$.

\begin{displaymath}
f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{displaymath}

Dieses kann man auch schreiben als

\begin{displaymath}
\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x) + \epsilon(h)
\end{displaymath}

oder

\begin{displaymath}
f(x+h) - f(x) = h f'(x) + h \epsilon(h)
\end{displaymath}

wobei $\lim_{h \to 0} \epsilon(h) = 0$ sein muss. Genau dann gilt nämlich

\begin{displaymath}
\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x) + \lim_{h \to 0} \epsilon(h) = f'(x).
\end{displaymath}

Beispiel
Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^{2}$. Wir setzen diese Funktion in den obigen Ausdruck ein und erhalten

\begin{displaymath}
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ (x+h)^{2} - x^{2}}{h} = \lim_{...
... + 2 h x + h^{2} - x^{2}}{h}
= \lim_{h \to 0} (2 x + h) = 2 x.
\end{displaymath}

Übung: Zeigen Sie entsprechend, daß die Ableitung der Funktion $f(x) = x^{3}$ durch $f'(x) = 3 x^{2}$ gegeben ist.
Man schreibt die Ableitung auch oft als Differentialquotient

\begin{displaymath}
f'(x) = \frac{df(x)}{dx} = \frac{dy}{dx}
\end{displaymath}

was heissen soll, daß die Funktion $y = f(x)$ nach $x$ abgeleitet werden soll (Sprechweise: dy nach dx). Insbesondere darf man bei dieser Schreibweise das ''d'' nicht kürzen. Setzt man die Differentiale $f(x+h) - f(x) = \Delta y$ und $h = \Delta x$, so schreibt man die Ableitung auch in der Form

\begin{displaymath}
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.
\end{displaymath}

Die verschiedenen Schreibweisen hier nochmal zusammengefasst:

\begin{displaymath}
y' = f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{df(x)}{dx}
\end{displaymath}

Die für die Physik wichtigsten Funktionen und ihre Ableitungen:
$\displaystyle y = x^{n} \; \; \; \; \;$ $\textstyle \;$ $\displaystyle \; \; \; \; \; y' = n \; x^{n-1}$  
$\displaystyle y = e^{x} \; \; \; \; \;$ $\textstyle \;$ $\displaystyle \; \; \; \; \; y' = e^{x}$  
$\displaystyle y = sin(x) \; \; \; \; \;$ $\textstyle \;$ $\displaystyle \; \; \; \; \; y' = cos(x)$  
$\displaystyle y = cos(x) \; \; \; \; \;$ $\textstyle \;$ $\displaystyle \; \; \; \; \; y' = -sin(x)$  
$\displaystyle y = ln(x) \; \; \; \; \;$ $\textstyle \;$ $\displaystyle \; \; \; \; \; y' = 1/x$  

Ableitungsregeln zusammengesetzter Funktionen:
Seien $u(x)$ und $v(x)$ zwei Funktionen und $k$ eine nicht von $x$ abhängende Konstante, so gelten die Regeln (siehe später in der Mathematik):
$\displaystyle (k u)'$ $\textstyle =$ $\displaystyle k u'$  
$\displaystyle (u + v)'$ $\textstyle =$ $\displaystyle u' + v'$  
$\displaystyle (u \cdot v)'$ $\textstyle =$ $\displaystyle u' v + u v'$  
$\displaystyle \left( \frac{u}{v} \right)'$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{u' v - u v'}{v^{2}}$  
$\displaystyle \frac{du(v(x))}{dx}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$  

Beispiele:
1. Sei $y = f(x) = 3 x^{3}$, dann gilt nach der ersten Regel:

\begin{displaymath}
y' = 3 \frac{d(x^{3})}{dx} = 3 \cdot 3 x^{2} = 9 x^{2}.
\end{displaymath}

2. Sei $y = f(x) = x^{2} + sin(x)$ so erhalten wir mit der zweiten Regel:

\begin{displaymath}
y' = 2 x + cos(x).
\end{displaymath}

3. Sei $y = f(x) = x^{2} e^{-2x}$ so ist mit der dritten Regel zunächst

\begin{displaymath}
y' = 2x \; e^{-2x} + x^{2} \frac{d (e^{-2x})}{dx}
\end{displaymath}

Die vierte Regel liefert

\begin{displaymath}
\frac{d (e^{-2x})}{dx} = -2 \; e^{-2x}
\end{displaymath}

Insgesamt also

\begin{displaymath}
y' = 2x e^{-2x} - 2 x^{2} e^{-2x} = 2x (1 - x) e^{-2x}.
\end{displaymath}

Man sieht schon an diesen einfachen Beispielen, daß die Ableitung einer Funktion ein ziemlich zeitaufwendiger mathematischer Prozess werden kann. Daher gibt es auch Computerprogramme, die die Ableitungen symbolisch berechnen können. Diese Programme verwenden die oben angegebenen Regeln und geben Ihnen ein Ergebnis heraus, wobei die Klammerausdrücke im allgemeinen noch vereinfacht werden müssen. Kommerzielle Programme wie z.B. MathLab oder Maple sind relativ teuer, aber extrem nützlich (die können natürlich noch viel mehr als nur Ableitungen berechnen). Kostenlose kleine Java- Applets findet man viele im Internet. Als Beispiel zunächst ein kleiner Formelrechner, der ausser der numerischen Auswertung von mathematischen Formeln auch symbolische Ableitungen bestimmen kann. Den Befehlssatz des Rechners erfahren Sie durch Drücken des Info- Buttons. Visualisierung von Funktionen ist ein wichtiger Aspekt in der Physik. Spielen Sie ein wenig mit diesem Applet und geben Sie einige Funktionen Ihrer Wahl ein. Sie könnten es im Rahmen dieser Vorlesungsreihe vielleicht noch gebrauchen.
Weitere Aufgaben:
Aufgabe 1:
Berechnen Sie die Ableitungen der Funktionen:
a) $f(x) = e^{sin(x)}$,
b) $f(x) = ln(x)/x$,
c) $f(x) = \sqrt{2+3x}$.
Aufgabe 2:
Diskutieren Sie die Funktion $f(x) = ln(x)/x$ und bestimmen Sie den $x$-Wert, bei dem der Funktionswert maximal wird.




Harm Fesefeldt
2005-10-21