Übung am Donnerstag, d. 20. Oktober 2005
Ableitung einer Funktion
Einer gegebenen Funktion wird durch eine gewisse Vorschrift eine neue Funktion zugeordnet, die man die abgeleitete Funktion
oder kurz Ableitung nennt. Diese Vorschrift soll zunächst rein geometrisch dargestellt werden. Ist die
Originalfunktion, so soll dieser als neue Kurve die Steigung der Kurve zugeordnet werden. Was ist aber die Steigung.
Im Strassenbau und Eisenbahnbau dient als Maß für die Steigung der Sinus (siehe links in der folgenden Abbildung).
Wenn man auf Strassenlänge einen Anstieg von hat, so nennt man dieses eine Steigung von
oder .
Abbildung 1:
Die Steigung im Strassenbau und in der Mathematik
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Im Gegensatz dazu berechnet man in der Mathematik die Steigung durch den Tangens des Steigungswinkels (siehe rechte Abbildung oben),
d.h. durch den Höhenzuwachs bezogen auf die Länge in der Horizontalen. Für jeden Punkt der Originalkurve gibt die
Ordinate der abgeleiteten Kurve die Steigung der Originalkurve an, gemessen durch den Tangens des Winkels, den die
Kurventangente mit der -Achse einschließt.
Abbildung 2:
Die Steigung einer Funktion als Tangente in einem Punkt
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Wie berechnet man nun die Ableitung einer gegebenen Funktion ? Dazu betrachten wir die Funktion an der Stelle und einer
Nachbarstelle mit den Funktionswerten und . Die Zunahme zwischen und ist .
Die durchschnittliche Steigung auf der Strecke ist
Abbildung 3:
Die Steigung als Grenzwert des Differentialquotienten
|
Die tatsächliche Steigung im Punkte erhält man, indem man die Strecke immer kleiner werden läßt. Mathematisch macht man
den Grenzübergang
.
Dieses kann man auch schreiben als
oder
wobei
sein muss. Genau dann gilt nämlich
Beispiel
Gegeben sei die Funktion . Wir setzen diese Funktion in den obigen Ausdruck ein und erhalten
Übung: Zeigen Sie entsprechend, daß die Ableitung der Funktion durch
gegeben ist.
Man schreibt die Ableitung auch oft als Differentialquotient
was heissen soll, daß die Funktion nach abgeleitet werden soll (Sprechweise: dy nach dx). Insbesondere darf
man bei dieser Schreibweise das ''d'' nicht kürzen.
Setzt man die Differentiale
und , so schreibt man die Ableitung auch in der Form
Die verschiedenen Schreibweisen hier nochmal zusammengefasst:
Die für die Physik wichtigsten Funktionen und ihre Ableitungen:
Ableitungsregeln zusammengesetzter Funktionen:
Seien und zwei Funktionen und eine nicht von abhängende Konstante, so gelten die Regeln (siehe später in
der Mathematik):
Beispiele:
1. Sei
, dann gilt nach der ersten Regel:
2. Sei
so erhalten wir mit der zweiten Regel:
3. Sei
so ist mit der dritten Regel zunächst
Die vierte Regel liefert
Insgesamt also
Man sieht schon an diesen einfachen Beispielen, daß die Ableitung einer Funktion ein ziemlich zeitaufwendiger mathematischer
Prozess werden kann. Daher gibt es auch Computerprogramme, die die Ableitungen symbolisch berechnen können. Diese Programme
verwenden die oben angegebenen Regeln und geben Ihnen ein Ergebnis heraus, wobei die Klammerausdrücke im allgemeinen noch
vereinfacht werden müssen. Kommerzielle Programme wie z.B. MathLab oder Maple sind relativ teuer, aber extrem nützlich (die können
natürlich noch viel mehr als nur Ableitungen berechnen). Kostenlose kleine Java- Applets findet man viele im Internet. Als
Beispiel zunächst ein kleiner
Formelrechner,
der ausser der numerischen Auswertung von mathematischen Formeln auch symbolische
Ableitungen bestimmen kann. Den Befehlssatz des Rechners erfahren Sie durch Drücken des Info- Buttons.
Visualisierung von Funktionen ist ein wichtiger Aspekt in der Physik. Spielen Sie ein wenig mit diesem
Applet und geben Sie einige
Funktionen Ihrer Wahl ein. Sie könnten es im Rahmen dieser Vorlesungsreihe vielleicht noch gebrauchen.
Weitere Aufgaben:
Aufgabe 1:
Berechnen Sie die Ableitungen der Funktionen:
a)
,
b)
,
c)
.
Aufgabe 2:
Diskutieren Sie die Funktion
und bestimmen Sie den -Wert, bei dem der Funktionswert maximal wird.
Harm Fesefeldt
2005-10-21