Lösungen zur Übung Nr.12
Besprechung: Donnerstag, d. 26. Januar 2006
Aufgabe 1:
Wir benutzen die folgende Skizze (siehe auch Skript Teil 11, Abb.15)
Mit der Leistungszahl
folgt also für die Wärmepumpe:
Beim Ofen muss die gesamte Wärmemenge vom Ofen erzeugt werden, d.h.
oder
Daher folgt die Leistung der Wärmepumpe:
Aufgabe 2:
a) Der Wärmestrom durch die Wand ist konstant, daher folgt
Die Frage ist also, wie berechnet man den - Wert aus mehreren Schichten oder aus einer Schicht mit zwei
Grenzflächen. Dazu erinnern wir uns an die Gleichstromlehre. Das Temparaturgefälle entspricht
der Spannung , der Wärmestrom entspricht dem elektrischen Strom , die Wärmemenge entspricht
der elektrischen Ladung , endlich noch entspricht dem Widerstand .
Elektrischer Strom |
Wärmestrom |
|
|
Ladung |
Wärmemenge |
Spannung
|
Temperaturdifferenz
|
|
|
|
|
Widerstand |
|
Leitwert |
-Wert |
Bei Hintereinanderschaltung von Widerständen gilt:
oder
Wir übertragen dieses Ergebnis auf den Wärmestrom und erhalten
Hierbei sind also die Dicken der verschiedenen Wandschichten, die zugehörigen Wärmeleitfähigkeiten
und die Wärmeübergangskoeffizienten der verschiedenen Grenzschichten. Wir wenden dieses Ergebnis
auf unser Problem an,
oder
Damit erhalten wir
b) Der gesamte Spannungsabfall bei einer Hintereinanderschaltung von Widerständen ist die Summe der Spannungen
an den Einzelwiderständen, der Strom ist in allen Widerständen gleich. Genauso ist es hier.
Daher
und genauso
woraus wir folgern
Aufgabe 3:
Zunächst raten wir die Lösung, und zwar eine exponentielle Abnahme
Die Vorfaktoren mit und kommen aus den Bedingungen
und
.
Die Stärke der Temperaturabnahme ist auf jeden Fall proportional zur Oberfläche und dem Koeffizienten :
Die Stärke der Abnahme muss auch noch in irgendeiner Form von der Wärmekapazität abhängen.
Der gesamte Exponent muss dimensionslos sein. Dieses lässt sich erreichen durch
Diese geratene Lösung müssen wir jetzt nochmal mathematisch verifizieren.
Für den Wärmestrom vom Körper in die Umgebung gilt (siehe Aufgabe 2):
Der Wärmetsrom ist nicht konstant. ist die momentane Temperatur zur Zeit . Als weiteren Input
haben wir noch die Bezieheung
mit der spezifischen Wärmekapazität und Masse des Körpers. Daher gilt
Wir sortieren diese Gleichung, bringen alle Temperaturen auf die linke Seite und den Rest auf die rechte Seite
und integrieren vom Anfangszustand bis zum Zustand zur Zeit :
mit dem Ergebnis:
oder
Dieses schreiben wir in der Form
Harm Fesefeldt
2006-01-28