Übung Nr.11

Besprechung: Donnerstag, d. 19. Januar 2006

Aufgabe 1:
Für eine Längenänderung $\Delta L/L$ benötigt man eine Kraft (siehe Skript

$$F_{2} = \frac{\Delta L}{L} E A$$

mit dem Elastizitätsmodul $E$ und Querschnitt $A$. In unserem Fall wirkt keine Kraft von außen, sondern das Seil möchte sich durch eine Erniedrigung $\Delta T$ der Temperatur verkürzen:

$$\Delta L = \alpha L \; \Delta T$$

Da die Länge des Seils konstant bleibt, wird die Kraft (Spannung) im Seil erhöht:

$$F_{2} = \frac{\alpha L \; \Delta T}{L} E A = \alpha E A \; \Delta T = \alpha E ( \frac{\pi}{4} d^{2}) \Delta T = 79 \; N$$

Zusammen mit der Vorspannung $F_{1}$ erhalten wir die Gesamtkraft:

$$F = F_{1} + F_{2} = 100 \; N + 79 \; N = 179 \; N$$

Man muß also immer darauf gefaßt sein, daß Seile, die man im Sommer gespannt hat, im Winter reißen.
Aufgabe 2:
Die Anomalie des Wassers sorgt dafür, daß unterhalb einer gewissen Oberfläche des Wassers die Temperatur $4^{o} C$ beträgt. Bei dieser Temperatur ist die Dichte am größten, sodaß das Wasser dieser Temperatur nach unten absinkt. Dieses gilt nicht nur für Temperaturen kleiner als $4^{o} C$ (Eis), sondern auch für höhere Temperaturen. Die Temperatur ist also nicht nur am Boden des Sees $4^{o} C$, sondern bis auf eine relativ kleine Schicht an der Oberfläche im gesamten See. Weiterhin wurde in der Aufgabe angegeben, daß die Luftblase langsam aufsteigen soll. Dann findet nämlich immer ein Temperaturausgleich zwischen dem Wasser und der Luft der Blase statt. Die Luftblase hat also die gleiche Temperatur wie das Wasser.
An der Oberfläche gilt dann

$$p_{1} V_{1} = n R T_{1} = N k T_{1},$$

mit $p_{1} = 1024 \; hPa$ äußerer Luftdruck, $T_{1} = 13^{o} C = 286 \; K$ Temperatur. In der Tiefe $H$ gilt:

$$p_{2} V_{2} = n R T_{2} = N k T_{2},$$

mit $T_{2} = 4^{o} C = 277 \; K$. Nach Aufgabenstellung sollte $V_{2} = V_{1}/10$ sein, der Druck $p_{2}$ ist

$$p_{2} = p_{1} + \rho_{W} g H$$

Eingesetzt in die Gleichung folgt:

$$(p_{1} + \rho_{W} g H) \frac{V_{1}}{10} = n R T_{2}$$

Das Volumen $V_{1}$ holen wir uns aus der ersten Gleichung

$$(p_{1} + \rho_{W} g H) \frac{n R T_{1}}{10 p_{1}} = n R T_{2}$$

Aufgelöst nach $H$ folgt:

$$H = \frac{p_{1}}{\rho_{W} g} \left( 10 \frac{T_{2}}{T_{1}} - 1 \right) = 91 \; m$$

Aufgabe 3:
Leistung ist Energie pro Zeit, d.h. $P = \Delta Q/t$. Die Energie, die der Tauchsieder abgibt, wird in die Erwärmung des Wassers und in die Erwärmung des Gefäßes hineingesteckt:

$$\Delta Q = (m c_{W} + C) (T_{S} - T_{1})$$

mit $m = 0,5 \; kg$, $c_{W} = 4,18 \cdot 10^{3} \; J/kg \; K$ (siehe Skript), $T_{S} - T_{A} = 84 \; K$ und $C = 480 \; J/K$. Die Zeit ist dann:

$$t = \frac{\Delta Q}{P} = \frac{(m c_{W} + C)(T_{S} - T_{A})}{P} = 360 \; s = 6 \; min.$$

Zusatzfrage: Sie vergessen, den Tauchsieder abzustellen. Nach welcher Zeit nach dem Beginn des Kochens ist das gesamte Wasser verdampft ?
Lösung: Hier ist die Energie $\Delta Q = m c_{B}$ mit wiederum $m = 0,5 \; kg$, jetzt aber die Verdampfungswärme $c_{B} = 2256 \cdot 10^{3} \; J/K$ (siehe Skript). Da wir die Temperatur nicht mehr erhöhen, braucht die Wärmekapazität des Gefäßes nicht mehr berücksichtigt zu werden. Die Zeit ist dann

$$t_{2} = \frac{m c_{B}}{P} = 1880 \; s = 31 \; min.$$

Nach dieser Zeit wird es brenzlig, da können Sie schon mal die Feuerwehr rufen.
Online-Aufgabe:
In der Online- Aufgabe war nach der Mischungstemperatur zweier idealer Gase gefragt. Die mittlere kinetischen Energien der einzelnen Gasatome sind:

$$< E_{kin,1} > = \frac{3}{2} k T_{1}$$

$$< E_{kin,2} > = \frac{3}{2} k T_{2}$$

Die Gesamtenergien in den beiden Gasen sind also:

$$E_{kin,ges,1} = N_{1} \frac{3}{2} k T_{1}$$

$$E_{kin,ges,2} = N_{2} \frac{3}{2} k T_{2}$$

Nach der Mischung muss die Summe der Gesamtenergien der Einzelgase gleich der Gesamtenergie des vermischten Gases sein:

$$E_{kin,ges} = (N_{1} + N_{2}) \frac{3}{2} k T = E_{kin,ges,1... ...es,2} = N_{1} \frac{3}{2} k T_{1} + N_{2} \frac{3}{2} k T_{2}.$$

Daraus folgt die Mischungstemperatur

$$T = \frac{N_{1} T_{1} + N_{2} T_{2}}{N_{1} + N_{2}}$$

Mit $N_{1} = 75$, $N_{2} = 150$, $T_{1} = 800 \; K$ und $T_{2} = 100 \;K$ folgt $T = 333,3333....$. In der Animation beobachtet man einen etwas anderen Wert. Dies liegt daran, daß wir in der Rechnung die Atome als punktförmig angenommen haben. Dieses kann man in der Animation nicht machen, da die Teilchen dann keine Stossprozesse mehr machen würden. Man müsste theoretisch die van der Waalsche Zustandsgleichung anwenden, bei der die endliche Ausdehnung der Atome berücksichtigt wird.
Frage: Was passiert in der Animation, wenn die Masse der Teilchen verändert wird ?
Frage: Was passiert in der Animation, wenn der Radius der Teilchen verändert wird ?