\documentstyle[11pt,german,epsfig,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{\"Ubung Nr.11}
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\centerline{\bf Besprechung: Donnerstag, d. 19. Januar 2006}
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 1:} \newline
F"ur eine L"angen"anderung $\Delta L/L$ ben"otigt man eine Kraft (siehe Skript
\begin{displaymath}
F_{2} = \frac{\Delta L}{L} E A
\end{displaymath}
mit dem Elastizit"atsmodul $E$ und Querschnitt $A$. In unserem Fall wirkt keine Kraft von au"sen, sondern das
Seil m"ochte sich durch eine Erniedrigung $\Delta T$ der Temperatur verk"urzen:
\begin{displaymath}
\Delta L = \alpha L \; \Delta T
\end{displaymath}
Da die L"ange des Seils konstant bleibt, wird die Kraft (Spannung) im Seil erh"oht:
\begin{displaymath}
F_{2} = \frac{\alpha L \; \Delta T}{L} E A = \alpha E A \; \Delta T = \alpha E ( \frac{\pi}{4} d^{2}) \Delta T = 79 \; N
\end{displaymath}
Zusammen mit der Vorspannung $F_{1}$ erhalten wir die Gesamtkraft:
\begin{displaymath}
F = F_{1} + F_{2} = 100 \; N + 79 \; N = 179 \; N
\end{displaymath}
Man mu"s also immer darauf gefa"st sein, da"s Seile, die man im Sommer gespannt hat, im Winter rei"sen.  
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{\bf Aufgabe 2:} \newline
Die Anomalie des Wassers sorgt daf"ur, da"s unterhalb einer gewissen Oberfl"ache des Wassers die Temperatur $4^{o} C$
betr"agt. Bei dieser Temperatur ist die Dichte am gr"o"sten, soda"s das Wasser dieser Temperatur nach unten absinkt.
Dieses gilt nicht nur f"ur Temperaturen kleiner als $4^{o} C$ (Eis), sondern auch f"ur h"ohere Temperaturen.
Die Temperatur ist also nicht nur am Boden des Sees $4^{o} C$, sondern bis auf eine relativ kleine Schicht an der Oberfl"ache 
im gesamten See. Weiterhin wurde in der Aufgabe angegeben, da"s die Luftblase langsam aufsteigen soll. Dann findet n"amlich
immer ein Temperaturausgleich zwischen dem Wasser und der Luft der Blase statt. Die Luftblase hat also die gleiche Temperatur
wie das Wasser. \newline
An der Oberfl"ache gilt dann
\begin{displaymath}
p_{1} V_{1} = n R T_{1} = N k T_{1},
\end{displaymath}
mit $p_{1} = 1024 \; hPa$ "au"serer Luftdruck, $T_{1} = 13^{o} C = 286 \; K$ Temperatur. 
In der Tiefe $H$ gilt:
\begin{displaymath}
p_{2} V_{2} = n R T_{2} = N k T_{2},
\end{displaymath}
mit $T_{2} = 4^{o} C = 277 \; K$. Nach Aufgabenstellung sollte $V_{2} = V_{1}/10$ sein, der Druck $p_{2}$ ist
\begin{displaymath}
p_{2} = p_{1} + \rho_{W} g H
\end{displaymath}
Eingesetzt in die Gleichung folgt:
\begin{displaymath}
(p_{1} + \rho_{W} g H) \frac{V_{1}}{10} = n R T_{2}
\end{displaymath}
Das Volumen $V_{1}$ holen wir uns aus der ersten Gleichung
\begin{displaymath}
(p_{1} + \rho_{W} g H) \frac{n R T_{1}}{10 p_{1}} = n R T_{2}
\end{displaymath}
Aufgel"ost nach $H$ folgt:
\begin{displaymath}
H = \frac{p_{1}}{\rho_{W} g} \left( 10 \frac{T_{2}}{T_{1}} - 1 \right) = 91 \; m
\end{displaymath} 
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{\bf Aufgabe 3:}  \newline
Leistung ist Energie pro Zeit, d.h. $P = \Delta Q/t$. Die Energie, die der Tauchsieder abgibt, 
wird in die Erw"armung des Wassers und in die Erw"armung des Gef"a"ses hineingesteckt:
\begin{displaymath}
\Delta Q = (m c_{W} + C) (T_{S} - T_{1})
\end{displaymath}
mit $m = 0,5 \; kg$, $c_{W} = 4,18 \cdot 10^{3} \; J/kg \; K$ (siehe Skript), $T_{S} - T_{A} = 84 \; K$ und
$C = 480 \; J/K$. Die Zeit ist dann:
\begin{displaymath}
t = \frac{\Delta Q}{P} = \frac{(m c_{W} + C)(T_{S} - T_{A})}{P} = 360 \; s = 6 \; min.
\end{displaymath}
{\bf Zusatzfrage:} Sie vergessen, den Tauchsieder abzustellen. Nach welcher Zeit nach dem Beginn des Kochens ist das 
gesamte Wasser verdampft ? \newline
{\bf L"osung:} Hier ist die Energie $\Delta Q = m c_{B}$ mit wiederum $m = 0,5 \; kg$, jetzt aber die Verdampfungsw"arme
$c_{B} = 2256 \cdot 10^{3} \; J/K$ (siehe Skript). Da wir die Temperatur nicht mehr erh"ohen, braucht die W"armekapazit"at des
Gef"a"ses nicht mehr ber"ucksichtigt zu werden. Die Zeit ist dann
\begin{displaymath}
t_{2} = \frac{m c_{B}}{P} = 1880 \; s = 31 \; min.
\end{displaymath}
Nach dieser Zeit wird es brenzlig, da k"onnen Sie schon mal die Feuerwehr rufen. 
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{\bf Online-Aufgabe:} \newline
In der Online- Aufgabe war nach der Mischungstemperatur zweier idealer Gase gefragt. Die mittlere kinetischen
Energien der einzelnen Gasatome sind:
\begin{eqnarray}
< E_{kin,1} > &=& \frac{3}{2} k T_{1} \nonumber \\
< E_{kin,2} > &=& \frac{3}{2} k T_{2} \nonumber 
\end{eqnarray}
Die Gesamtenergien in den beiden Gasen sind also:
\begin{eqnarray}
E_{kin,ges,1} &=& N_{1} \frac{3}{2} k T_{1} \nonumber \\
E_{kin,ges,2} &=& N_{2} \frac{3}{2} k T_{2} \nonumber
\end{eqnarray}
Nach der Mischung muss die Summe der Gesamtenergien der Einzelgase gleich der Gesamtenergie des vermischten Gases sein:
\begin{displaymath}
E_{kin,ges} = (N_{1} + N_{2}) \frac{3}{2} k T = E_{kin,ges,1} + E_{kin,ges,2} = N_{1} \frac{3}{2} k T_{1} + N_{2} \frac{3}{2} k T_{2}.
\end{displaymath}
Daraus folgt die Mischungstemperatur 
\begin{displaymath}
T = \frac{N_{1} T_{1} + N_{2} T_{2}}{N_{1} + N_{2}} 
\end{displaymath}
Mit $N_{1} = 75$, $N_{2} = 150$, $T_{1} = 800 \; K$ und $T_{2} = 100 \;K$ folgt $T = 333,3333....$.
In der Animation beobachtet man einen etwas anderen Wert. Dies liegt daran, da"s wir in der Rechnung die Atome als
punktf"ormig angenommen haben. Dieses kann man in der Animation nicht machen, da die Teilchen dann keine
Stossprozesse mehr machen w"urden. Man m"usste theoretisch die  van der Waalsche Zustandsgleichung anwenden, bei der die
endliche Ausdehnung der Atome ber"ucksichtigt wird. \newline
{\bf Frage:} Was passiert in der Animation, wenn die Masse der Teilchen ver"andert wird ? \newline
{\bf Frage:} Was passiert in der Animation, wenn der Radius der Teilchen ver"andert wird ?    
  
\end{document}
