\documentstyle[11pt,german,epsfig,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L"osungen zur \"Ubung Nr.10}
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\centerline{\bf Besprechung: Donnerstag, d. 12. Januar 2006}
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{\bf Aufgabe 1:} \newline
Im ersten Fall mu"s die gesamte Wassermnge $m$ auf die H"ohe $H$ gebracht werden. Energieerhaltung verlangt hier
einfach $E_{a} = m g H$. Im zweiten Fall betr"agt die Energie zum Anheben der Wasseroberfl"ache um den Betrag $dz$:
\begin{displaymath}
dE_{b} = F \; dz = p A \; dz = \rho g z A \; dz.
\end{displaymath}
Hierbei ist $A$ Bodenfl"ache des Tanks, $\rho$ die Dichte des Wassers und $z$ die H"ohe des Wasserspiegels. Die Integration liefert
\begin{displaymath}
E_{b} = \int_{0}^{H} d E_{b} = \rho g A \int_{0}^{H} z \; dz = \rho g A \frac{H^{2}}{2} = \frac{1}{2} m g H.
\end{displaymath}
Also ist $E_{b} = E_{a}/2$, man ben"otigt im zweiten Fall also nur halb so viel Energie. Dieses Ergebnis ist plausibel,
da die potentielle Energie im ersten Fall beim Herunterfallen des Wassers verloren geht b.z.w. in W"arme verwandelt
wird. 
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{\bf Aufgabe 2:} \newline
a) Wir wenden die allgemeine Bernoulli- Gleichung an:
\begin{displaymath}
p_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} + \rho g h_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} + \rho g h_{2}.
\end{displaymath}
Auf unsrere Aufgabe angewendet, folgt:
\begin{displaymath}
p_{0} + \frac{1}{2} \rho v_{0}^{2} + \rho g z = p_{0} + \frac{1}{2} \rho v^{2} 
\end{displaymath}
Hierbei ist $p_{0}$ der "au"sere Luftdruck, der oben und unten am Gef"a"s derselbe ist, $v_{0}$ ist die Senkgeschwindigkeit der
Wasseroberfl"ache, $z$ die H"ohe der Wasseroberfl"ache "uber der unteren "Offnung. Daraus erhalten wir eine Beziehung zwischen
$v$, $v_{0}$ und $z$:
\begin{displaymath}
v_{0}^{2} + 2 g z = v^{2}.
\end{displaymath}
Eine zweite Beziehung zwischen $v_{0}$, $v$ und dem Radius $r$ der kreisf"ormigen Wasserobefl"ache erhalten wir
aus der Kontinuit"atsgleichung
\begin{displaymath}
v A = \pi r^{2} v_{0}
\end{displaymath}
Dann k"onnen wir die Geschwindigkeit $v$ durch $v_{0}$ ausdr"ucken,
\begin{displaymath}
v^{2} = \frac{\pi^{2} r^{4}}{A^{2}} v_{0}^{2}
\end{displaymath}
und in die erste Gleichung einsetzen:
\begin{displaymath}
v_{0}^{2} + 2 g z = \frac{\pi^{2} r^{4}}{A^{2}} v_{0}^{2}.
\end{displaymath}
Wir bringen $v_{0}^{2}$ auf die linke Seite und alles andere auf die rechte Seite:
\begin{displaymath}
v_{0}^{2} = \frac{2 g A^{2} z}{\pi^{2} r^{4} - A^{2}}.
\end{displaymath}
Nach Aufgabenstellung sollte $v_{0}$ konstant sein, darf also nicht von $z$ oder $r$ abh"angen. Das kann nur erf"ullt werden,
wenn
\begin{displaymath}
z = z(r) = a (\pi^{2} r^{4} - A^{2} )
\end{displaymath}
gilt, mit einer Proportionalit"atskonstanten $a$. Dann gilt n"amlich
\begin{displaymath}
v_{0}^{2} = 2 g a A^{2} = konstant.
\end{displaymath}
b) Jetzt ist $v_{0} = dz/dt = 0,1 \; mm/s$, damit k"onnen wir die Konstante $a$ bestimmen. 
\begin{displaymath}
a = \frac{v_{0}^{2}}{2 g A^{2}}
\end{displaymath}
Damit die Uhr eine Stunde laufen kann, mu"s die Anfangsh"ohe der Wasseroberfl"ache $H = v_{0} T$ mit
$T = 1 \; h = 3600 \; s$ sein, d.h. $H = 0,36 m$. Wir gehen zur"uck auf unsere obige Ausgangsformel und schreiben den Radius
$r$ als Funktion von $z$:
\begin{displaymath}
r^{4} = \frac{A^{2}}{\pi^{2}} \left( 1 + \frac{2 g z}{v_{0}^{2}} \right)
\end{displaymath}
und setzen $r = R$ sowie $z = H$. Dieses ergibt
\begin{displaymath}
R = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \left( 1 + \frac{2 g H}{v_{0}^{2}} \right)^{1/4} \approx 10 \; cm
\end{displaymath}
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 3:}  \newline
Wir betrachten die Oberfl"achen der beiden Wassers"aulen. Der Gesamtdruck an diesen beiden Punkten mu"s gleich sein. Dann gilt
\begin{displaymath}
p_{0} + p + \frac{1}{2} \rho v^{2} + \rho g h_{1} = p_{0} + p + \rho g h_{2}.
\end{displaymath}
wobei $p_{0}$ der "au"sere Luftdruck und  $p$ der statische Druck ist.  
\begin{displaymath}
g (h_{1} - h_{2}) = \frac{1}{2} v^{2}
\end{displaymath}
Die Geschwindigkeit ist dann
\begin{displaymath}
v = \sqrt{2 g \; \Delta h}
\end{displaymath}
und das Volumen pro Sekunde:
\begin{displaymath}
A v = 0,26 \; m^{3}/s.
\end{displaymath} 
\end{document}
