Lösungen zur Übung Nr.8

Besprechung: Donnerstag, d. 15. Dezember 2005

Aufgabe 1:
a) Erde und Mond bewegen sich auf Kreisbahnen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt, daher gilt

$$m_{E} r_{1} = m_{M} r_{2}$$

$$r = r_{1} + r_{2} = 385000 \; km$$

Daraus folgern wir

$$r_{1} = \frac{r}{1 + m_{E}/m_{M}} = 4700 \; km$$

$$r_{2} = \frac{r}{1 + m_{M}/m_{E}} = 380300 \; km$$

Abbildung 1: Erde- Mond System mit Schwerpunkt S.

Das Bewegungszentrum liegt also noch innerhalb der Erdkugel. Diese 380000 $km$ werden üblicherweise als Abstand von Erde und Mond angegeben. Das ist ersichtlich nicht ganz richtig, es ist genau genommen der Bahnradius des Mondes.
b) Die Umlaufdauer des Mondes wird über die Bewegungsgleichung

$$m_{M} a_{r} = - G \frac{m_{M} m_{E}}{r^{2}}$$

bestimmt. Hier muss man jetzt aufpassen. Im Gravitationsgesetz steht der Abstand $r = r_{1} + r_{2}$ zwischen Mond und Erde, während die Radialbeschleunigung des Mondes mit dem Bahnradius $r_{2}$ beschrieben werden muss:

$$a_{r} = \omega^{2} r_{2} = - \frac{4 \pi^{2}}{T^{2}} r_{2}.$$

Damit findet man

$$T = \sqrt{\frac{4 \pi^{2}}{G} \frac{r^{3}}{(m_{E} + m_{M})}} = 27,3 \; Tage.$$

Aufgabe 2:
Wir betrachten die Punkte $A$ und $B$ in der folgenden Skizze.

Abbildung 2: Ellipsenbahn eines Planeten mit Sonne S.

In diesen Punkten ist der Drehimpuls durch $L_{A} = m \vert \vec{r}_{A} \times \vec{v}_{A} \vert = m r_{A} v_{A}$ und $L_{B} = m \vert \vec{r}_{B} \times \vec{v}_{B} \vert = m r_{B} v_{B}$ gegeben, da der Ortsvektor in diesen beiden Punkten senkrecht zur Geschwindigkeit ist. Dann ist mit $L_{A} = L_{B} = L$

$$\frac{1}{2} m v_{A}^{2} = \frac{1}{2} \frac{L^{2}}{m r_{A}^{2}}$$

$$\frac{1}{2} m v_{B}^{2} = \frac{1}{2} \frac{L^{2}}{m r_{B}^{2}}$$

und mit Formel (3), Skript Teil 7, Seite 5 auch

$$E_{ges,A} = \frac{L^{2}}{2 m r_{A}^{2}} - G \frac{m M}{r_{A}}$$

$$E_{ges,B} = \frac{L^{2}}{2 m r_{B}^{2}} - G \frac{m M}{r_{B}}$$

Da neben dem Drehimpuls auch die Gesamtenergie konstant ist, folgt

$$\frac{L^{2}}{2 m r_{A}^{2}} - G \frac{m M}{r_{A}} = \frac{L^{2}}{2 m r_{B}^{2}} - G \frac{m M}{r_{B}}$$

Damit können wir jetzt den Drehimpuls berechnen:

$$\frac{L^{2}}{2m} = G m M \frac{r_{A}r_{B}}{r_{A}+r_{B}}$$

Diesen Ausdruck setzen wir jetzt in die Formel für die Gesamtenergie z.B. im Punkte $A$ ein:

$$E_{ges} = G m M \frac{r_{A} r_{B}}{(r_{A} + r_{B}) r_{A}^{2}... ...}{r_{A}} = - G \frac{m M}{r_{A} + r_{B}} = - G \frac{mM}{2 a}.$$

Aufgabe 3:
Diese Aufgabe ist sehr ähnlich der Aufgabe 2. Die Bahnen beider Satelliten werden durch Ellipsenbahnen beschrieben. Die Anfangsgeschwindigkeiten sind bei Abschuss am Äquator durch $v = v_{0} \pm \omega R_{E}$ beschrieben, mit der Kreisfrequenz $\omega$ der Eigenrotation der Erde. Den größten Abstand von der Erde erreicht der Satellit im Schnittpunkt der Bahn mit der großen Halbachse. Die Geschwindigkeit im Punkte $A$ sei $v_{A}$, dann gilt wegen Drehimpulserhaltung

$$v R_{E} = v_{A} R_{A}$$

Abbildung 3: Bahnen von Satelliten der Erde

Erhaltung der Gesamtenergie verlangt:

$$\frac{1}{2} v^{2} - G \frac{M_{E}}{R_{E}} = \frac{1}{2} v_{A}^{2} - G \frac{M_{E}}{R_{A}}$$

Wir ersetzen $G M_{E}/R_{E}^{2} = g$ durch die Schwerebeschleunigung auf der Erdoberfläche, dann erhalten wir

$$\frac{1}{2} v^{2} - g R_{E} = \frac{1}{2} v_{A}^{2} - g \frac{R_{E}^{2}}{R_{A}}$$

Wir übernehmen $v_{A}$ aus der Formel für die Drehimpuls- Erhaltung und erhalten:

$$\frac{1}{2} v^{2} - g R_{E} = \frac{1}{2} v^{2} \frac{R_{E}^{2}}{R_{A}^{2}} - g \frac{R_{E}^{2}}{R_{A}}$$

Damit erhalten wir die quadratische Gleichung für den Abstand $R_{A}$:

$$(v^{2} - 2 g R_{E}) R_{A}^{2} + (2 g R_{E}^{2}) R_{A} - v^{2} R_{E}^{2} = 0$$

mit den zwei Lösungen:

$$R_{A} = R_{E}$$

$$R_{A} = \frac{R_{E}}{2 g R_{E}/v^{2} -1}$$

Die erste Lösung ist der Abschußort, der zweite Lösung ist der maximale Abstand. Wir setzen jetzt noch die Anfangsgeschwindigkeiten $v = v_{0} \pm \omega R_{E}$ ein und erhalten für die beiden Satelliten die Maximalabstände $R_{A,1}= 7,14 \; R_{E}$ und $R_{A,2} = 2,70 \; R_{E}$. Man sieht, daß die Eigenrotation der Erde einen großen Einfluss auf die Ellipsenbahn hat.
b) Der kritische Satellit ist der mit der größeren Geschwindigkeit. Der Maximalabstand vom Erdmittelpunkt wird unendlich, wenn der Nenner in der Formel von Teil a) Null wird, d.h.

$$2 g \frac{R_{E}}{v^{2}} = 1$$

oder

$$v_{krit}^{2} = 2 g R_{E}.$$

mit $v_{krit} = v_{0,krit} + \omega R_{E}$ erhalten wir

$$v_{0,krit} = - \omega R_{E} + \sqrt{2 g R_{E}} = 10,72 \; km/s$$

Der zweite Satellit verschwindet dagegen erst bei $v_{0,krit} = 11,64 \; km/s$ im Weltall. Die kritische Geschwindigkeit ohne Erdrotation ist $11,2 \; km/s$.