Lösungen zur Übung Nr.7

Besprechung: Donnerstag, d. 8. Dezember 2005

Aufgabe 1:
Wir müssen die Schwingungsfrequenz als Funktion der Gesamtenergie darstellen. Die Gesamtenergie ist immer die Summe aus kinetischer und potentieller Energie,

$$E = E_{kin} + E_{pot}.$$

Die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung ohne Dämpfung ist

$$x = x_{0} \; cos(\omega t + \varphi).$$

Die Geschwindigkeit hierzu ist

$$v = - \omega \; x_{0} sin(\omega t + \varphi).$$

Für die kinetische Energie erhalten wir:

$$E_{kin} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m x_{0}^{2} \omega^{2} \; sin^{2}(\omega t + \varphi)$$

Für die potentielle Energie erhalten wir

$$E_{pot} = \int_{0}^{x} D \xi d\xi = \frac{1}{2} D x^{2} = \frac{1}{2} m x_{0}^{2} \omega^{2} \; cos^{2}(\omega t + \varphi),$$

mit der Eigenfreqeunz $\omega^{2} = D/m$. Die Gesamtenergie ist dann

$$E = E_{kin} + E_{pot} = \frac{1}{2} m x_{0}^{2} \omega^{2} = 2 \pi^{2} m x_{0}^{2} \nu^{2}$$

mit $\omega = 2 \pi \nu$. Für die gesuchte Frequenz erhalten wir hieraus:

$$\nu = \sqrt{ \frac{E}{2 \pi^{2} m x_{0}^{2}}} = 50,4 \; s^{-1}.$$

Aufgabe 2:
Die gedämpfte Schwingung stellen wir dar mit einer Cosinus - Funktion, deren Amplitude exponentiell abnimmt.

$$x(t) = A e^{-\gamma t} cos(\omega t + \varphi)$$

Diese Lösung erfüllt die Schwingungsgleichung (bitte nachrechnen). Daher folgt für das Verhältnis der Auslenkungen bei zwei aufeinanderfolgenden Schwingungen:

$$\frac{x((n+1)T)}{x(nT)} = \frac{A e^{-(n+1)\gamma T} cos((n+... ...{A e^{-n \gamma T} cos(n \omega T + \varphi)} = e^{-\gamma T}.$$

Nach Aufgabenstellung $e^{-\gamma T} = 0,4$. Daher

$$\gamma = - \frac{ln(0,4)}{T} = 1,83 \; s^{-1}.$$

Die Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung ist $\omega_{0}^{2} = \omega^{2} + \gamma^{2}$, die Frequenz also

$$\nu_{0} = \sqrt{ \nu^{2} + \frac{\gamma^{2}}{4 \pi^{2}}} \approx 2 \; s^{-1}$$

Aufgabe 3:
a) Wir wollen diese Aufgabe nutzen, um den allgemeinen Lösungsansatz der gedämpften Schwingungsgleichung mit komplexen Zahlen zu lösen. Die Bewegungsgleichung lautet in diesem Fall

$$m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = - m' \frac{g}{L} x - 2 \gamma \frac{dx}{dt}$$

Man beachte, daß $m'$ die um den Auftrieb verringerte Masse des Pendelkörpers ist:

$$m' = m - \frac{4}{3} \pi \rho r^{3} = 0,0032 \; kg = 32 \; g.$$

Wir versuchen den Lösungsansatz

$$x = A e^{k t }$$

Hierbei haben wir die Phase $\varphi = 0$ gesetzt. Dieses ist nichts weiter als die Wahl des Zeit- Nullpunktes. Dann folgen die Ableitungen

$$\frac{dx}{dt} = A k e^{k t }$$

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = A k^{2} e^{k t}$$

Dieses setzen wir in die Schwingungsgleichung ein und erhalten die Bedingung für $k$:

$$m A k^{2} e^{kt} = - \frac{m' g}{L} A e^{kt} - 2 \gamma A k e^{kt}.$$

Nach Wegkürzen von $A$ und $e^{kt}$ bleibt

$$k^{2} + \frac{m'}{m} \frac{g}{L} + \frac{2 \gamma}{m} k = 0$$

mit den 2 Lösungen:

$$k_{\pm} = - \frac{\gamma}{m} \pm i \sqrt{ \frac{m'g}{mL} - \frac{\gamma^{2}}{m^{2}} }$$

Die 2 Lösungen der Schwingungsgleichung sind also

$$x_{1}(t) = A_{+} e^{-(\gamma/m) t} e^{+ i \omega t}$$

$$x_{2}(t) = A_{-} e^{-(\gamma/m) t} e^{- i \omega t}$$

mit

$$\omega = \sqrt{ \frac{m' g}{mL} - \frac{\gamma^{2}}{m^{2}} }.$$

Physikalisch interessant sind nur die Realteile der Lösungen:

$$x_{1}(t) = A_{+} e^{-(\gamma/m) t} cos(+\omega t)$$

$$x_{2}(t) = A_{-} e^{-(\gamma/m) t} cos(-\omega t)$$

Da $cos(-x) = cos(x)$ ist, sind beide Lösungen physikalisch identisch gleich. Für die Schwingungsdauer erhalten wir:

$$T = \frac{2 \pi}{\omega} = 4,16 \; s.$$

b) Der aperiodische Grenzfall wird erreicht für $\omega = 0$, daher

$$\frac{m'g}{mL} = \frac{\gamma^{2}}{m^{2}}$$

oder

$$\gamma = \sqrt{m m' \frac{g}{L}} = 0,125 \; kg/s.$$

,5cm Aufgabe 4:
Die Schwerkraft erzeugt eine konstante Auslenkung der Feder, verschiebt also lediglich den Nullpunkt der Auslenkung. Die Bewegungsgleichung ist

$$F_{0} \; e^{i\omega t} - m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} - 2 \gamma \frac{dx}{dt} - D x = 0$$

Im Resonanzfall gilt bei schwacher Dämpfung

$$\omega \approx \omega_{0} = \frac{2 \pi}{T_{0}} = 4 \pi \; s^{-1}$$

Wir versuchen wieder einen komplexen Lösungsansatz,

$$x = A_{res} e^{i(\omega t - \varphi)}$$

wobei $\varphi$ der Phasenwinkel zwischen der treibenden Kraft und der Schwingung ist. Die zweite Ableitung lautet

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = - A_{res} \omega^{2} \; e^{i(\omega t - \varphi)}$$

und daher (beachte $\omega^{2} = \omega_{0}^{2} = D/m$)

$$- m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} - D x = (m \omega^{2} x - Dx) e^{i(\omega t - \varphi)} = 0.$$

Im Resonanzfall ist also bei schwacher Dämpfung die äußere Kraft gleich der Reibungskraft:

$$F_{0} \; e^{i\omega t} = 2 \gamma \frac{dx}{dt} = 2 \gamma \; A_{res} \; i \; \omega \; e^{i(\omega t - \varphi)}$$

Diese Gleichung spalten wir jetzt in einen Realteil und Imaginärteil auf,

$$F_{0} = 2 \gamma A_{res} \omega \; sin\varphi$$

$$0 = 2 \gamma A_{res} \omega \; cos\varphi$$

Aus der zweiten Gleichung folgern wir, daß $cos\varphi = 0$ sein muß, also $\varphi = \pi/2$. Damit wird $sin\varphi = 1$ und daher folgt aus der ersten Gleichung:

$$F_{0} = 2 \gamma A_{res} \omega$$

oder

$$\gamma = \frac{F_{0}}{2 A_{res} \omega} = 0,8 \cdot 10^{-3} \; kg/s$$

b) Die Leistung ist

$$P(t) = F(t) v(t)$$

Der Realteil der treibenden Kraft ist

$$F = F_{0} cos(\omega t)$$

Die Geschwindigkeit ist

$$v = \frac{dx}{dt} = i \omega A_{res} e^{i(\omega t - \varphi... ... + i \; sin(\omega t) \right) ( cos\varphi - i \; sin\varphi),$$

mit Realteil (beachte $\varphi = \pi/2$)

$$v = \omega A_{res} cos(\omega t)$$

Die mittlere Leistung ist

$$\overline{P} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} P(\tau) d\tau = \frac{1}{2} F_{0} A_{res} \omega = 6,28 \cdot 10^{-4} \; N m/s$$

c) Im Resonanzfall besteht zwischen Geschwindigkeit $v$ und der äußeren Kraft $F$ kein Phasenunterschied. Die Amplitude der Geschwindigkeit hat ein Maximum. Daher hat auch die Arbeit, die während einer Periode von der äußeren Kraft geleistet wird, ein Maximum.

Animation
Alle Aufgaben dieser Übung können Sie mit dem folgenden Java- Applet visuell nachvollziehen. Eine Bedienungsanleitung finden Sie beim Klicken auf den Doc- Button.