Lösungen zur Übung Nr.6

Besprechung: Donnerstag, d. 1. Dezember 2005

Aufgabe 1:
Beim zentralen elastischen Stoß ist die Geschwindigkeit der Kugeln nach dem Stoß:

$$v_{1}' = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{1}$$

$$v_{2}' = \frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{1}$$

Abbildung: Elastischer Stoß dreier Kugeln auf einer Geraden

Die Energie $E_{2}$ der zweiten Kugel ist also

$$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \frac{m_{2} v_{2}'^{2}}{m_{1} v_{1}^{2... ...ac{4 m_{1} m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}} = \frac{4 x}{(1+x)^{2}}.$$

Im letzten Schritte haben wir noch die Abkürzung $x = m_{2}/m_{1}$ eingeführt. Entsprechend gilt beim Stoß der zweiten mit der dritten Kugel

$$\frac{E_{3}}{E_{2}} = \frac{4 y}{(1+y)^{2}}$$

mit $y = m_{3}/m_{2}$. Daher ist auch

$$\frac{E_{3}}{E_{1}} = \frac{E_{3}}{E_{2}} \frac{E_{2}}{E_{1}} = \frac{16 x y}{(1+x)^{2}(1+y)^{2}}$$

Weiterhin setzen wir

$$z = x y = \frac{m_{2}}{m_{1}} \frac{m_{3}}{m_{2}} = \frac{m_{3}}{m_{1}}$$

$z$ ist also konstant. Die Energie der dritten Kugel können wir jetzt als Funktion der Variablen $x = m_{2}/m_{1}$ und der Konstanten $z$ schreiben:

$$E_{3} = \frac{16 z}{(1+x)^{2} (1 + z/x)^{2}} E_{1}.$$

$E_{3}$ wird maximal, wenn der Nenner minimal wird. Daher suchen wir nach dem $x$, bei dem

$$\frac{dN}{dx} = \frac{d}{dx} \left[ (1 + x)^{2} (1 + \frac{z}{x})^{2} \right] = 0$$

wird. Die Auswertung dieser Extremalaufgabe ergibt $x_{max} = \sqrt{z}$ (bitte nachrechnen) oder

$$m_{2,max} = \sqrt{m_{1} m_{3}} = 1,73 \; kg$$

Die Energie der dritten Kugel berechnet sich zu:

$$E_{3} = \frac{16z}{(1+\sqrt{z})^{2} (1 + \sqrt{z})^{2} } E_{1} = \frac{16z}{(1+\sqrt{z})^{4}} = 0,86 \; E_{1}$$

b) Wir nehmen jetzt die zweite Kugel weg und berechnen die Energie der dritten Kugel beim direkten elastischen Stoß der ersten mit der dritten Kugel. Hierzu verwenden wir eine oben bereits abgeleitete Formel

$$E_{3}' = \frac{4z}{(1+z)^{2}} E_{1} = 0,75 \; E_{1}.$$

Man sieht also, daß der Energieübertrag von der ersten auf die dritte Kugel größer wird, wenn man eine Kugel mit der Masse $m_{2} = \sqrt{m_{1} m_{3}}$ dazwischen schaltet. Entsprechend kann man mehrere Kugeln mit Massen $m_{n} = \sqrt{m_{n-1} m_{n+1}}$ einfügen. Man kommt dann zu einer Kugelpyramide, wie sie auch in der Vorlesung als Experiment gezeigt worden ist.
Aufgabe 2:
Allgemein gilt, wenn $M'$ die Masse des Pendelkörpers ist, für die potentielle Energie beim Maximalausschlag mit dem Winkel $\varphi_{0}$:

$$E_{pot} = M' g h = M' g L (1 - cos\varphi_{0}) = 2 M' g L sin^{2}\left(\frac{\varphi_{0}}{2} \right)$$

Abbildung 2: Bezeichnungen beim ballistischen Pendel

Wir machen hier also nicht die Approximation $sin\varphi_{0} \approx \varphi$, da wir über die Größe der Auslenkung nichts wissen. Die Masse $M'$ ist bei den drei Fällen a), b) und c) verschieden, nämlich einmal $M' = M + m$ (Teil a) und $M' = M$ (Teil b und c). Diese potentielle Energie muß gleich der kinetischen Energie des Pendelkörpers nach dem Aufprall der Geschosskugel sein. Für die Berechnung dieser kinetischen Energie können wir aber nicht den Energiesatz verwenden, da der Stoß der Kugel in allen drei Fällen inelastisch ist und ein Teil der Energie durch Reibung verloren geht. Hier können wir nur den Impulssatz anwenden.
a) Hier ist wegen Impulserhaltung $m v = (m+M) v_{K}$, wobei also $v_{K}$ die Geschwindigkeit des Pendelkörpers am Anfang seiner Bewegung ist. Damit wird die kinetische Energie

$$E_{kin} = \frac{m+M}{2} v_{K}^{2} = \frac{1}{2} \frac{m^{2}}{(m+M)} v^{2}.$$

mit der Geschwindigkeit $v$ der Kugel vor dem Stoß. In die Formel für die potentielle Energie müssen wir $M' = M + m$ einsetzen, daher

$$\frac{1}{2} \frac{m^{2}}{(m+M)} v^{2} = 2 L g (M+m) sin^{2} \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right) .$$

Augelöst nach $\varphi_{0}$ folgt:

$$sin \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right) = \frac{m v}{2 \sqrt{L g} (m+M)} = 0,158.$$

oder $\varphi_{0} \approx 18,2^{o}$.
b) In diesem Fall fordert die Impulserhaltung $m v = M v_{K} - m v'$, da die Kugel nach dem Stoss mit der kleineren Geschwindigkeit $v'$ zurückfliegt. Die kinetische Energie des Pendelkörpers direkt nach dem Aufprall ist also

$$E_{kin} = \frac{1}{2} M v_{K}^{2} = \frac{1}{2} \frac{m^{2}}{M} (v + v')^{2}.$$

In die Formel für die potentielle Energie ist diesmal $M' = M$ zu setzen, daher

$$\frac{1}{2} \frac{m^{2}}{M} (v + v')^{2} = 2 L M g sin^{2} \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right)$$

Daraus folgt

$$sin \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right) = \frac{m (v + v')}{2 \sqrt{L g} M} = 0,176.$$

oder $\varphi_{0} \approx 20,3^{o}$.
c) Dieses ist natürlich ein Spezialfall von Teil b) mit $v' = 0$. Daher

$$sin \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right) = \frac{m v}{2 \sqrt{L g} M} = 0,159$$

oder $\varphi_{0} \approx 18,4^{o}$.
Aufgabe 3:
Da sich das Seil elastisch ausdehnt, wirkt es wie eine Feder. Die Federkonstante berechnen wir aus $M g = D \Delta l$, wobei also $M g$ die Kraft und $\Delta l$ die Auslenkung ist:

$$D = \frac{Mg}{\Delta l}$$

Die Kreisfrequenz der Schwingung ist

$$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{D}{m+M} }$$

und die Frequenz ist

$$\nu_{0} = \frac{\omega_{0}}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{M g}{(M+m) \Delta l} } \approx 2,8 \; s^{-1}.$$