\documentstyle[11pt,german,epsfig,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L"osungen zur \"Ubung Nr.6}
\normalsize
\centerline{\bf Besprechung: Donnerstag, d. 1. Dezember 2005}
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 1:} \newline
Beim zentralen elastischen Sto"s ist die Geschwindigkeit der Kugeln nach dem Sto"s:
\begin{eqnarray}
v_{1}' &=& \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{1} \nonumber \\
v_{2}' &=& \frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{1} \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{figure}[here]
\centerline{\epsfig{file=kugeln.eps,scale=0.5}}
\caption{Elastischer Sto"s dreier Kugeln auf einer Geraden}
\end{figure}
Die Energie $E_{2}$ der zweiten Kugel ist also
\begin{displaymath}
\frac{E_{2}}{E_{1}} = \frac{m_{2} v_{2}'^{2}}{m_{1} v_{1}^{2}} = \frac{4 m_{1} m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}} 
= \frac{4 x}{(1+x)^{2}}.
\end{displaymath}
Im letzten Schritte haben wir noch die Abk"urzung $x = m_{2}/m_{1}$ eingef"uhrt. Entsprechend gilt beim Sto"s der zweiten mit
der dritten Kugel
\begin{displaymath}
\frac{E_{3}}{E_{2}} = \frac{4 y}{(1+y)^{2}}
\end{displaymath}
mit $y = m_{3}/m_{2}$. Daher ist auch
\begin{displaymath}
\frac{E_{3}}{E_{1}} = \frac{E_{3}}{E_{2}} \frac{E_{2}}{E_{1}} = \frac{16 x y}{(1+x)^{2}(1+y)^{2}}
\end{displaymath}
Weiterhin setzen wir 
\begin{displaymath}
z = x y = \frac{m_{2}}{m_{1}} \frac{m_{3}}{m_{2}} = \frac{m_{3}}{m_{1}}
\end{displaymath}
$z$ ist also konstant. Die Energie der dritten Kugel k"onnen wir jetzt als Funktion der Variablen $x = m_{2}/m_{1}$ und der
Konstanten $z$ schreiben:
\begin{displaymath}
E_{3} = \frac{16 z}{(1+x)^{2} (1 + z/x)^{2}} E_{1}.
\end{displaymath}
$E_{3}$ wird maximal, wenn der Nenner minimal wird. Daher suchen wir nach dem $x$, bei dem
\begin{displaymath}
\frac{dN}{dx} = \frac{d}{dx} \left[ (1 + x)^{2} (1 + \frac{z}{x})^{2} \right] = 0
\end{displaymath}
wird. Die Auswertung dieser Extremalaufgabe ergibt $x_{max} = \sqrt{z}$ (bitte nachrechnen) oder
\begin{displaymath}
m_{2,max} = \sqrt{m_{1} m_{3}} = 1,73 \; kg
\end{displaymath}
Die Energie der dritten Kugel berechnet sich zu:
\begin{displaymath}
E_{3} = \frac{16z}{(1+\sqrt{z})^{2} (1 + \sqrt{z})^{2} } E_{1} = \frac{16z}{(1+\sqrt{z})^{4}} = 0,86 \; E_{1}
\end{displaymath}
b) Wir nehmen jetzt die zweite Kugel weg und berechnen die Energie der dritten Kugel beim direkten elastischen Sto"s
der ersten mit der dritten Kugel. Hierzu verwenden wir eine oben bereits abgeleitete Formel
\begin{displaymath}
E_{3}' = \frac{4z}{(1+z)^{2}} E_{1} = 0,75 \; E_{1}. 
\end{displaymath}
Man sieht also, da"s der Energie"ubertrag von der ersten auf die dritte Kugel gr"o"ser wird, wenn man eine Kugel mit der 
Masse $m_{2} = \sqrt{m_{1} m_{3}}$ dazwischen schaltet. Entsprechend kann man mehrere Kugeln mit Massen
$m_{n} = \sqrt{m_{n-1} m_{n+1}}$ einf"ugen. Man kommt dann zu einer Kugelpyramide, wie sie auch in der Vorlesung als
Experiment gezeigt worden ist. 
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 2:} \newline
Allgemein gilt, wenn $M'$ die Masse des Pendelk"orpers ist, f"ur die potentielle Energie beim Maximalausschlag mit dem
Winkel $\varphi_{0}$:
\begin{displaymath}
E_{pot} = M' g h = M' g L (1 - cos\varphi_{0}) = 2 M' g L sin^{2}\left(\frac{\varphi_{0}}{2} \right)
\end{displaymath}
\begin{figure}
\centerline{\epsfig{file=pendel.eps,scale=0.5}}
\caption{Bezeichnungen beim ballistischen Pendel}
\end{figure}
Wir machen hier also \underline{nicht} die Approximation $sin\varphi_{0} \approx \varphi$, da wir "uber die Gr"o"se der
Auslenkung nichts wissen. Die Masse $M'$ ist bei den drei F"allen a), b) und c) verschieden, n"amlich einmal 
$M' = M + m$ (Teil a) und $M' = M$ (Teil b und c). Diese potentielle Energie mu"s gleich der kinetischen Energie des
Pendelk"orpers nach dem Aufprall der Geschosskugel sein. F"ur die Berechnung dieser kinetischen Energie k"onnen wir aber nicht den
Energiesatz verwenden, da der Sto"s der Kugel in allen drei F"allen inelastisch ist und ein Teil der Energie durch Reibung
verloren geht. Hier k"onnen wir nur den Impulssatz anwenden. \newline
a) Hier ist wegen Impulserhaltung $m v = (m+M) v_{K}$, wobei also $v_{K}$ die Geschwindigkeit des Pendelk"orpers am Anfang seiner
Bewegung ist. Damit wird die kinetische Energie
\begin{displaymath}
E_{kin} = \frac{m+M}{2} v_{K}^{2} = \frac{1}{2} \frac{m^{2}}{(m+M)} v^{2}.
\end{displaymath}
mit der Geschwindigkeit $v$ der Kugel vor dem Sto"s. In die Formel f"ur die potentielle Energie m"ussen wir
$M' = M+m$ einsetzen, daher
\begin{displaymath}
\frac{1}{2} \frac{m^{2}}{(m+M)} v^{2} = 2 L g (M+m) sin^{2} \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right) .
\end{displaymath}
Augel"ost nach $\varphi_{0}$ folgt:
\begin{displaymath}
sin \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right) = \frac{m v}{2 \sqrt{L g} (m+M)} = 0,158.
\end{displaymath}
oder \underline{$\varphi_{0} \approx 18,2^{o}$}.\newline 
b) In diesem Fall fordert die Impulserhaltung $m v = M v_{K} - m v'$, da die Kugel nach dem Stoss mit der kleineren 
Geschwindigkeit $v'$ zur"uckfliegt. Die kinetische Energie des Pendelk"orpers direkt nach dem Aufprall ist also
\begin{displaymath}
E_{kin} = \frac{1}{2} M v_{K}^{2} = \frac{1}{2} \frac{m^{2}}{M} (v + v')^{2}. 
\end{displaymath}
In die Formel f"ur die potentielle Energie ist diesmal $M' = M$ zu setzen, daher
\begin{displaymath}
\frac{1}{2} \frac{m^{2}}{M} (v + v')^{2} = 2 L M g sin^{2} \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right)
\end{displaymath}
Daraus folgt
\begin{displaymath}
sin \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right) = \frac{m (v + v')}{2 \sqrt{L g} M} = 0,176.
\end{displaymath}
oder \underline{$\varphi_{0} \approx 20,3^{o}$}. \newline
c) Dieses ist nat"urlich ein Spezialfall von Teil b) mit $v' = 0$. Daher
\begin{displaymath}
sin \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right) = \frac{m v}{2 \sqrt{L g} M} = 0,159
\end{displaymath}
oder \underline{$\varphi_{0} \approx 18,4^{o}$}.
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 3:}  \newline
Da sich das Seil elastisch ausdehnt, wirkt es wie eine Feder. Die Federkonstante berechnen wir aus $M g = D \Delta l$,
wobei also $M g$ die Kraft und $\Delta l$ die Auslenkung ist:
\begin{displaymath}
D = \frac{Mg}{\Delta l} 
\end{displaymath}
Die Kreisfrequenz der Schwingung ist
\begin{displaymath}
\omega_{0} = \sqrt{ \frac{D}{m+M} } 
\end{displaymath}
und die Frequenz ist
\begin{displaymath}
\nu_{0} = \frac{\omega_{0}}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{M g}{(M+m) \Delta l} } \approx 2,8 \; s^{-1}.
\end{displaymath} 
\end{document}
