Lösungen zur Übung Nr.4

Besprechung: Donnerstag, d. 17. November 2005

Aufgabe 1:
a) Die Feder wird in zwei gleich lange Teile unterteilt.

Abbildung 1: Hintereinanderschaltung zweier Federn

An beiden Federn wirkt jetzt die gleiche Kraft, daher

$$F = Dx = F_{1} = F_{2} = D_{1} x_{1} = D_{2} x_{2}$$

Daher folgt die Beziehung zwischen den Auslenkungen der beiden Federn:

$$x_{2} = \frac{D_{1}}{D_{2}} x_{1}.$$

Die Gesamtauslenkung beider Ferdern ist die Summe der Einzelauslenkungen, d.h. $x = x_{1} + x_{2}$. Daher gilt:

$$D x = D ( x_{1} + x_{2}) = D \left( x_{1} + \frac{D_{1}}{D_{2}} x_{1} \right)$$

$$= D \left( \frac{D_{1}+D_{2}}{D_{2}} \right) x_{1} = D_{1} x_{1}$$

Zum Schluss haben wir hierbei eine Beziehung aus der ersten Gleichung benutzt. Hieraus können wir folgern:

$$D = \frac{D_{1}D_{2}}{D_{1} + D_{2}}$$

In unserer Aufgabe ist noch speziell $D' = D_{1} = D_{2}$, daher $D = D'/2$ und $D' = 2 D$.
b) Jetzt kommen wir zur Parallelschaltung der beiden halben Federn.

Abbildung 2: Parallel montierte Federn

Übt man auf dieses System eine Kraft $F$ aus, so ist diese die Summe aus den Kräften an den Einzelfedern,

$$F = F_{1} + F_{2} = D' x + D' x = 2 D' x = D'' x.$$

Die Federkonstante des parallel geschalteten Systems ist also $D'' = 2 D' = 4D$.
Aufgabe 2:
Während das Seil auf den Boden fällt, wirken zwei Kräfte: Erstens das Gewicht von dem bereits auf dem Boden liegenden Teil des Seils und zweitens die durch den Impulsverlust des herunterfallenden Seils erzeugte Kraft. Wir betrachten ein Element des Seils mit Masse $dm$ und Länge $dy$, das gerade den Boden erreicht. Die Masse dieses Teilstücks ist $dm = (M/L) dy$ und die Kraft durch den Impulsverlust ist

$$\Delta F = \frac{dp}{dt} = \frac{v \; dm}{dt} = \frac{M}{L} v \frac{dy}{dt} = \frac{M}{L} v^{2}.$$

Hierbei ist $v$ die Geschwindigkeit, mit der dieses Massenelement den Boden erreicht. Diese Geschwindigkeit ist von der Höhe abhängig, in der das Element gestartet ist und beträgt $v^{2} = 2 g y$, wobei $y$ die Länge des Seilstückes ist, das bereits auf dem Boden liegt, und daher die Fallhöhe des Seilelementes $dm$ ist. Wir erhalten also

$$\Delta F = 2 \frac{M}{L} g y.$$

Die Gesamtkraft ergibt sich aus der Summe dieser Kraft und dem Gewicht des bereits auf dem Boden liegenden Teil des Seilstückes:

$$F = \Delta F + F_{s} = \Delta F + \frac{M}{L} y g = 3 M g \frac{y}{L}.$$

Das Verhältnis der Gesamtkraft zu dem bereits auf dem Boden liegenden Gewicht ist also $F/F_{s} = 3$.
Aufgabe 3:
Die Massendichten von Erde und Planet sollten gleich sein, aslo $\rho = \rho_{Erde} = \rho_{Planet}$. Für die Schwereberschleunigung an der Oberfläche des Planeten gilt dann:

$$g_{P} = \gamma \frac{M_{P}}{R^{2}_{P}}$$

mit des Masse $M_{P}$ und Radius $R_{P}$ des Planeten. Für das Verhältnis der Schwerebeschleunigungen auf Planet und Erde gilt dann

$$\frac{g_{P}}{g_{E}} = \frac{M_{P}}{M_{E}} \frac{R_{E}^{2}}{R... ...{P}^{3}}{(4/3) \pi \rho R_{E}^{3}} \frac{R_{E}^{2}}{R_{P}^{2}}$$

oder

$$\frac{g_{P}}{g_{E}} = \frac{R_{P}}{R_{E}}$$

Da $R_{E} = 2 R_{P}$ sein sollte, folgt also $g_{P} = g_{E}/2 \approx 5 \; m/s^{2}$.
Aufgabe 4:
Wenn der Körper auf einer Kreisbahn laufen soll, muß die Radialbeschleunigung $a_{r} = v^{2}/(R_{E}+h)$ gleich der Schwerebeschleunigung $a_{g} = \gamma M_{E}/(R_{E} + h)^{2}$ sein. Also

$$\frac{v^{2}}{R_{E}+h} = \gamma \frac{M_{E}}{(R_{E}+h)^{2}}$$

Die Geschwindigkeit folgt aus

$$v^{2} = \gamma \frac{M_{E}}{R_{E} + h} = \gamma \frac{M_{E}}{R_{E}^{2}} \; \frac{R_{E}^{2}}{R_{E}+h}$$

oder

$$v^{2} = g_{E} \frac{R_{E}^{2}}{R_{E} + h}.$$

wobei also $g_{E}$ die Schwerebeschleunigung auf der Erdoberfläche ist. Einsetzen der Zahlenwerte ergibt $v \approx 7,7 \; km/s$