Lösungen zur Übung Nr.2

Besprechung: Donnerstag, d. 3. November 2005

Aufgabe 1:
Mit dem Index 1 bezeichnen wir alle Koordinaten des ersten Steines, mit dem Index 2 die des zweiten. Die Orts- Zeit- Funktionen lauten dann:

$$z_{1} = \frac{g}{2} t^{2}$$

$$z_{2} = \frac{g}{2} (t - t_{0})^{2} + v_{0} (t - t_{0})$$

Hierbei ist $t_{0}$ die Zeit, die der zweite Stein später gestartet ist, $v_{0}$ seine Anfangsgeschwindigkeit. Beide sind am gleichen Ort, wenn $z_{1} = z_{2}$ ist, d.h.

$$\frac{g}{2} t_{x}^{2} = \frac{g}{2} (t_{x} - t_{0})^{2} + v_{0} (t_{x} - t_{0})$$

Diese Gleichung muß nach $t_{x}$ aufgelöst werden:

$$\frac{g}{2} t_{x}^{2} = \frac{g}{2} t_{x}^{2} - g t_{x} t_{0} + \frac{g}{2} t_{0}^{2} + v_{0} t_{x} - v_{0} t_{0}$$

$$g t_{x} t_{0} - v_{0} t_{x} = \frac{g}{2} t_{0}^{2} - v_{0} t_{0}$$

$$t_{x} (g t_{0} - v_{0}) = t_{0} \left( \frac{g}{2} t_{0} - v_{0} \right)$$

$$t_{x} = \frac{v_{0} - (g/2) t_{0}}{v_{0} - g t_{0}} t_{0} = \frac{v_{0}/t_{0} - g/2}{v_{0}/t_{0} - g} t_{0}$$

In der letzten Schreibweise sieht man sehr schön, daß es im Wesentlichen auf das Verhältnis $v_{0}/t_{0}$ ankommt. Mit den angegebenen Zahlenwerten $v_{0} = 20 \; m/s$, $t_{0} = 1 \; s$ und $g = 10 m/s^{2}$ folgt die Zeit $t_{x} = 1,5 \; s$. Die beiden Steine kreuzen sich nur dann, wenn $v_{0} > g t_{0}$ ist. Im Falle $v_{0} = g t_{0}$ wird die Zeit Unendlich, für $v_{0} < g t_{0}$ wird sie negativ.
b) Der Überholvorgang findet bei einer Tiefe von

$$z_{x} = \frac{g}{2} t_{x}^{2} = 11 \; m$$

statt.
c) Beide Orts- Zeit- Funktionen sind Parabeln und nach oben geöffnet.

Abbildung 1: Die beiden Parabeln im Vergleich

Aufgabe 2:
Die Beschleunigungsstrecke $s_{1} = 10 \; m$ und die Strecke mit gleichbleibender Geschwindigkeit $s_{2} = 90 \; m$ können wir mit den jeweiligen Zeiten $t_{1}$ und $t_{2}$ schreiben:

$$s_{1} = \frac{1}{2} a t_{1}^{2}$$

$$s_{2} = v_{max} t_{2} = (a t_{1}) t_{2}$$

Hierbei ist also $v_{max}$ die Geschwindigkeit am Ende der Beschleunigungsstrecke. Dieses Gleichungssystem können wir nach $t_{1}$ und $t_{2}$ auflösen:

$$t_{1} = \sqrt{ \frac{2 s_{1}}{a} }$$

$$t_{2} = \frac{s_{2}}{a t_{1}} = \frac{s_{2}}{\sqrt{2 a s_{1}}}$$

Ausserdem braucht der Läufer noch die Reaktionszeit $t_{r}$. Somit ist die Gesamtzeit $T$ gegeben durch

$$T = t_{r} + t_{1} + t_{2} = t_{r} + \sqrt{ \frac{2 s_{1}}{a} } + \frac{s_{2}}{\sqrt{2 a s_{1}}}$$

Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte liefert:

$$T = t_{r} + 1,782 \; s + 8,018 \; s = t_{r} + 9,8 \; s.$$

Die Gesamtzeit bleibt also unter $10 \; s$, sofern die Reaktionszeit $t_{r} < 0,2 \; s$ ist.
Aufgabe 3:
Sei $v_{S}$ die Geschwindigkeit des Stromes und $v_{r}$ die Geschwindigkeit des Dampfers relativ zum Wasser. Dann sind die Geschwindigkeiten $v_{1}$ und $v_{2}$ relativ zum Ufer auf der Hin- bzw. Rückfahrt:

$$v_{1} = v_{r} + v_{S}$$

$$v_{2} = v_{r} - v_{S}$$

Mit $v_{1} = L/t_{1}$ und $v_{2} = L/t_{2}$ folgt:

$$L/t_{1} = v_{r} + v_{S}$$

$$L/t_{2} = v_{r} - v_{S}$$

Dieses Gleichunfgssystem lösen wir nach $v_{r}$ und $v_{S}$ auf:

$$v_{S} = \frac{L}{2} \frac{(t_{2}-t_{1})}{t_{1}t_{2}} = 7,5 \; km/h$$

$$v_{r} = \frac{L}{2} \frac{(t_{2}+t_{1})}{t_{1}t_{2}} = 17,5 \; km/h$$

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist

$$\overline{v} = \frac{200 \; km}{14 \;h} = 14,3 \; km/h.$$

Aufgabe 4; (Knobelaufgabe)
Zur Lösung der Aufgabe klappen wir die Seitenwände des Aquariums einfach auf (vergessen Sie aber nicht, vorher das Wasser herauszulassen !!):

Abbildung: Aquarium mit zwei aufgeklappten Wänden

Wir erhalten dann zwei Möglichkeiten, um auf einem geraden Weg vom Schlafplatz $T$ zum Futternapf $F$ zu kommen, von denen der Weg $B$ mit $5,66 \; m$ offensichtlich der kürzere ist. Dafür braucht er die Zeit

$$t = \frac{5,66 \; m}{10 \; cm/s} = \frac{566 \; cm}{10 \; cm/s} = 56,6 \; s.$$