\documentstyle[11pt,german,epsfig,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L"osungen zur \"Ubung Nr.2}
\normalsize
\centerline{\bf Besprechung: Donnerstag, d. 3. November 2005}
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 1:} \newline
Mit dem Index 1 bezeichnen wir alle Koordinaten des ersten Steines, mit dem Index 2 die des zweiten. Die Orts- Zeit- Funktionen
lauten dann:
\begin{eqnarray}
z_{1} &=& \frac{g}{2} t^{2} \nonumber \\
z_{2} &=& \frac{g}{2} (t - t_{0})^{2} + v_{0} (t - t_{0}) \nonumber
\end{eqnarray}
Hierbei ist $t_{0}$ die Zeit, die der zweite Stein sp"ater gestartet ist, $v_{0}$ seine Anfangsgeschwindigkeit. 
Beide sind am gleichen Ort, wenn $z_{1} = z_{2}$ ist, d.h.
\begin{displaymath}
\frac{g}{2} t_{x}^{2} = \frac{g}{2} (t_{x} - t_{0})^{2} + v_{0} (t_{x} - t_{0})
\end{displaymath}
Diese Gleichung mu"s nach $t_{x}$ aufgel"ost werden:
\begin{eqnarray}
\frac{g}{2} t_{x}^{2} &=& \frac{g}{2} t_{x}^{2} - g t_{x} t_{0} + \frac{g}{2} t_{0}^{2} + v_{0} t_{x} - v_{0} t_{0} \nonumber \\
g t_{x} t_{0} - v_{0} t_{x} &=& \frac{g}{2} t_{0}^{2} - v_{0} t_{0} \nonumber \\
t_{x} (g t_{0} - v_{0}) &=& t_{0} \left( \frac{g}{2} t_{0} - v_{0} \right) \nonumber \\
t_{x} &=& \frac{v_{0} - (g/2) t_{0}}{v_{0} - g t_{0}} t_{0} = \frac{v_{0}/t_{0} - g/2}{v_{0}/t_{0} - g} t_{0} \nonumber 
\end{eqnarray}
In der letzten Schreibweise sieht man sehr sch"on, da"s es im Wesentlichen auf das Verh"altnis $v_{0}/t_{0}$ ankommt.
Mit den angegebenen Zahlenwerten $v_{0} = 20 \; m/s$, $t_{0} = 1 \; s$ und $g = 10 m/s^{2}$ folgt die 
Zeit $t_{x} = 1,5 \; s$. Die beiden Steine kreuzen sich nur dann, wenn $v_{0} > g t_{0}$ ist. Im Falle $v_{0} = g t_{0}$
wird die Zeit Unendlich, f"ur $v_{0} < g t_{0}$ wird sie negativ. \newline
b) Der "Uberholvorgang findet bei einer Tiefe von
\begin{displaymath}
z_{x} = \frac{g}{2} t_{x}^{2} = 11 \; m
\end{displaymath}
statt. \newline
c) Beide Orts- Zeit- Funktionen sind Parabeln und nach oben ge"offnet.
\begin{figure}[here]
\centerline{\epsfig{file=parabel.eps,scale=0.5}}
\caption{Die beiden Parabeln im Vergleich}
\end{figure} 
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 2:} \newline
Die Beschleunigungsstrecke $s_{1} = 10 \; m$ und die Strecke mit gleichbleibender Geschwindigkeit $s_{2} = 90 \; m$
k"onnen wir mit den jeweiligen Zeiten $t_{1}$ und $t_{2}$ schreiben:
\begin{eqnarray}
s_{1} &=& \frac{1}{2} a t_{1}^{2} \nonumber \\
s_{2} &=& v_{max} t_{2} = (a t_{1}) t_{2} \nonumber
\end{eqnarray}
Hierbei ist also $v_{max}$ die Geschwindigkeit am Ende der Beschleunigungsstrecke. Dieses Gleichungssystem k"onnen wir
nach $t_{1}$ und $t_{2}$ aufl"osen: 
\begin{eqnarray}
t_{1} &=& \sqrt{ \frac{2 s_{1}}{a} } \nonumber \\
t_{2} &=& \frac{s_{2}}{a t_{1}} = \frac{s_{2}}{\sqrt{2 a s_{1}}} \nonumber
\end{eqnarray}
Ausserdem braucht der L"aufer noch die Reaktionszeit $t_{r}$. Somit ist die Gesamtzeit $T$ gegeben durch
\begin{displaymath}
T = t_{r} + t_{1} + t_{2} = t_{r} + \sqrt{ \frac{2 s_{1}}{a} } + \frac{s_{2}}{\sqrt{2 a s_{1}}}
\end{displaymath}
Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte liefert:
\begin{displaymath}
T = t_{r} + 1,782 \; s + 8,018 \; s = t_{r} + 9,8 \; s.
\end{displaymath}
Die Gesamtzeit bleibt also unter $10 \; s$, sofern die Reaktionszeit $t_{r} < 0,2 \; s$ ist.  
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 3:}  \newline
Sei $v_{S}$ die Geschwindigkeit des Stromes und $v_{r}$ die Geschwindigkeit des Dampfers relativ zum Wasser. Dann sind
die Geschwindigkeiten $v_{1}$ und $v_{2}$ relativ zum Ufer auf der Hin- bzw. R"uckfahrt:
\begin{eqnarray}
v_{1} &=& v_{r} + v_{S} \nonumber \\
v_{2} &=& v_{r} - v_{S} \nonumber
\end{eqnarray}
Mit $v_{1} = L/t_{1}$ und $v_{2} = L/t_{2}$ folgt:
\begin{eqnarray}
L/t_{1} &=& v_{r} + v_{S} \nonumber \\
L/t_{2} &=& v_{r} - v_{S} \nonumber
\end{eqnarray}
Dieses Gleichunfgssystem l"osen wir nach $v_{r}$ und $v_{S}$ auf:
\begin{eqnarray}
v_{S} &=& \frac{L}{2} \frac{(t_{2}-t_{1})}{t_{1}t_{2}} = 7,5 \; km/h \nonumber \\
v_{r} &=& \frac{L}{2} \frac{(t_{2}+t_{1})}{t_{1}t_{2}} = 17,5 \; km/h \nonumber
\end{eqnarray}
Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 
\begin{displaymath}
\overline{v} = \frac{200 \; km}{14 \;h} = 14,3 \; km/h.
\end{displaymath}      
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 4;} (Knobelaufgabe) \newline
Zur L"osung der Aufgabe klappen wir die Seitenw"ande des Aquariums einfach auf (vergessen Sie aber nicht, vorher das Wasser
herauszulassen !!):
\begin{figure}[here]
\centerline{\epsfig{file=fisch.eps,scale=0.5}}
\caption{Aquarium mit zwei aufgeklappten W"anden}
\end{figure}
Wir erhalten dann zwei M"oglichkeiten, um auf einem geraden Weg vom Schlafplatz $T$ zum Futternapf $F$ zu kommen, von denen der
Weg $B$ mit $5,66 \; m$ offensichtlich der k"urzere ist. Daf"ur braucht er die Zeit 
\begin{displaymath}
t = \frac{5,66 \; m}{10 \; cm/s} = \frac{566 \; cm}{10 \; cm/s} = 56,6 \; s.
\end{displaymath}
\end{document}
