Lösungen zur Übung Nr.1
Besprechung: Donnerstag, d. 27. Oktober 2005

Aufgabe 1:
Die physikalische Dimension muß auf beiden Seiten der Gleichungen übereinstimmen. Diese Forderung ergibt:
a)
$\displaystyle \left[ \frac{m}{s} \right]^{n}$ $\textstyle =$ $\displaystyle k \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{j} [m]$  
$\displaystyle \left[ \frac{m^{n-j-1}}{s^{n-2j}} \right]$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1$  

Daraus folgt $n-j-1 = 0$ und $n-2j=0$, also $n=2$ und $j=1$. Die Gleichung lautet also $v^{2} = k a x$. Diese Gleichung gibt es bei der normalen konstanten Beschleunigung. Dann ist zunächst $v = a t$. Mit $x = (1/2) a t^{2} = (1/2) v t$ folgt auch $v = 2x/t$ und damit $v^{2} = 2 a x$. Unsere Gleichung ist also erfüllbar mit $k=2$.
b) Hier steht jetzt:

\begin{displaymath}
1 = \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{n} \left[ \frac{m}{s} \right]^{j} [s]^{i} = \left[ \frac{m^{n+j}}{s^{2n+j-i}} \right]
\end{displaymath}

Dieses ergibt $n+j = 0$ und $2n+j-i=0$, was durch $n=1$, $j=-1$ und $i=1$ gelöst wird. Die entsprechende Gleichung lautet

\begin{displaymath}
k = a v^{-1} t \; \; \; \; \; \rightarrow \; \; \; \; \; k v = a t.
\end{displaymath}

Dieses ist also wieder wie in a) eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung, wobei noch $k = 1$ sein muss.
c) Bei der letzten Gleichung muß das Argument der Sinusfunktion dimensionslos sein. In der Lösung ersetzen wir die natürliche Zahl $m$ in der Aufgabenstellung durch $l$, um nicht mit der Dimension $m$ der Länge in Konflikt zu kommen.

\begin{displaymath}
1 = \left[ m \right] \left[ s \right]^{i} \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{l} = \left[ \frac{m^{l+1}}{s^{2l-i}} \right]
\end{displaymath}

Also $l = -1$ und $i = -2$. Weiterhin muß der Faktor vor der Sinusfunktion die Dimension einer Länge haben:
$\displaystyle [m]$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{n} \left[ s \right]^{j}$  
$\displaystyle 1$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left[ \frac{m^{n-1}}{s^{2n-j}} \right]$  

Daher muß $n=1$ und $j=2$ sein. Unsere Gleichung lautet:

\begin{displaymath}
x = a t^{2} \; sin\left( \frac{x}{a t^{2}} \right)
\end{displaymath}

oder

\begin{displaymath}
\frac{x}{at^{2}} = sin \left( \frac{x}{a t^{2}} \right).
\end{displaymath}

Diese Gleichung kann nur für $x = 0$ erfüllt werden, ergibt also physikalisch keinen Sinn.
Aufgabe 2:
Die Volumenangabe des in der Arktis gebundenen Wassers (hauptsächlichst Süßwasser) ist nur eine grobe Schätzung. Gegenwärtig untersucht der Forschungssattelit CyroSat die Menge des Eises am Nordpol (gestartet 2003). Erste Ergebnisse zeigen, daß die Menge des Eises durchaus Faktoren 2 bis 5 größer sein kann als in der Aufgabenstellung angegeben ist. Falls dieses Wasser schmelzen würde und dieses Wasser nur in die Ozeane fliessen würde (was natürlich auch nur eine grobe Näherung ist), dann erhält man aus der Fläche der Ozeane,

\begin{displaymath}
A_{Ozeane} = 0,8 \cdot 4 \pi R_{Erde}^{2} = 3,62 \cdot 10^{8} \; km^{2}
\end{displaymath}

und dem Volumen des geschmolzenen Eises,

\begin{displaymath}
V_{Wasser} = A_{Ozeane} h = 2,6 \cdot 10^{6} \; km^{3}
\end{displaymath}

die zusätzliche Höhe $h$ der Ozeane

\begin{displaymath}
h = \frac{2 \cdot 10^{6} \; km^{3}}{3,62 \cdot 10^{8} \; km^...
...^{-2} \; km = 0,55 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{3} \; m
= 5,5 \; m.
\end{displaymath}

Das wäre also soviel wie ein zweistöckiges Haus.
Aufgabe 3:
a) Der relative Fehler ist definiert als (hier ist $M$ eine Masse)

\begin{displaymath}
\frac{\Delta M}{M} = \frac{0,5 \; mg}{10 \; g} = \frac{0,5 \...
...10 \; g} = 5 \cdot 10^{-5} = 5 \cdot 10^{-3} \%
= 0,005 \; \%.
\end{displaymath}

b) Der relative Fehler soll $\Delta L/L = 5 \cdot 10^{-5}$ sein, der absolute Fehler also

\begin{displaymath}
\Delta L = 5 \cdot 10^{-5} \; L = 5 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{3} \; m = 5 \cdot 10^{-2} m = 5 \; cm.
\end{displaymath}

c) Jetzt wollen wir die Länge von $L = 1 \;km$ durch mehrmaliges Anlegen des Urmeters mit der Länge $L_{u} = 1 \; m$ messen. Wir messen also eine Länge $n$ mal und wollen die Summe der Einzelmessungen bilden. Hier kommt es jetzt entscheidend auf das Meßverfahren an. In unsrerem Fall wird man nach jeder Messung einen Strich ziehen und das Urmeter an diesen Strich anlegen. Wenn man das Anlegen des Urmeters an den Strich immer systematisch zu kurz oder zu lang anlegt, wirken die Fehler der Einzelmessungen immer in die gleiche Richtung, entweder zu kurz oder zu lang. In diesem Fall sollte man den absoluten Größtfehler berechnen:

\begin{displaymath}
\Delta L = \sum_{i=1}^{1000} \Delta L_{i} = 1000 \Delta L_{i}.
\end{displaymath}

Wir dürfen dann in der Einzelmessung nur einen Fehler von $\Delta L_{i} = \Delta L/1000 = 50 \; \mu m$ machen. Stellt man allerdings in Rechnung, daß eine gewisse Wahrscheinlichkeit für einen teilweisen gegenseitigen Ausgleich der Fehler der Einzelmessungen besteht, wenn man also in unserem Fall das Urmeter einmal zu kurz, beim nächsten mal zu lang anlegt, so liefert die Theorie für den mittleren Fehler die Gleichung

\begin{displaymath}
(\Delta L)^{2} = \sum_{i=1}^{1000} (\Delta L_{i})^{2} = 1000 (\Delta L_{i})^{2}
\end{displaymath}

d.h., man muß die Quadrate der Fehler der Einzelmessungen addieren. In diesem Fall erhalten wir

\begin{displaymath}
\Delta L_{i} = \frac{\Delta L}{\sqrt{1000}} = \frac{5 \; cm}{31,62} = 0,16 cm = 1,6 \; mm.
\end{displaymath}





Harm Fesefeldt
2005-10-28