\documentstyle[12pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{\"Ubungen am 30.10.2003}
\large
\normalsize
\newline \vskip 2mm
{\bf Das Vektorprodukt} \newline
Neben dem Skalarprodukt zweier Vektoren wird in der Vorlesung demn\"achst auch das 
Vektorprodukt $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ eingef\"uhrt. Das Ergebnis dieser Operation ist
wieder ein Vektor, der senkrecht auf $\vec{a}$ und $\vec{b}$ steht und dessen Richtung mit Hilfe
der ''rechte Hand Regel'' bestimmt werden kann (die armen Linksh\"ander !!!) : \newline 
Der Vektor $\vec{a}$ wird mit den Fingern "uber den kleineren Winkel nach
$\vec{b}$ gedreht, der Daumen gibt dann die Richtung von $\vec{c}$ an.
Hieraus folgt sofort, da"s das Vektorprodukt nicht kommutativ ist:
\begin{equation}
\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}
\end{equation}
Es gelten zwei Distributivgesetze:
\begin{eqnarray}
p (\vec{a} \times \vec{b}) &=& (p \vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times 
(p \vec{b}), \; \; \; \; \; \; \; \; p = Skalar \\
\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) &=& (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} 
\times \vec{c}) 
\end{eqnarray}
w"ahrend im allgemeinen
\begin{displaymath}
\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) 
\times \vec{c} .
\end{displaymath}
Weiterhin gilt:
\begin{equation}
\vec{a} \times \vec{b} = 0, \; \; \; falls \; \; \; \vec{a} \parallel \vec{b} 
\; \; \; \; \; \; \; \; \rightarrow \; \; \; \; \; \; \; \; 
\vec{a} \times \vec{a} = 0 \; \; \; 
\forall \vec{a}
\end{equation}
Der Betrag des Vektors $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ ist
\begin{equation}
|\vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| sin\phi ,
\end{equation}
wobei $\phi$ der kleinere Winkel zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und
$\vec{b}$ ist und der Fl"ache des von den Vektoren aufgespannten
Parallelogramms entspricht. \newline \vskip 5mm
\bf Aufgabe 1: \rm Seien $\vec{e}_{x}$, $\vec{e}_{y}$ und $\vec{e}_{z}$
die achsenparallelelen Einheitsvektoren in einem rechtwinkligen 
Koordinatensystem. Gegeben seien zwei Vektoren
\begin{eqnarray} 
\vec{a} &=& a_{x} \vec{e}_{x} + a_{y} \vec{e}_{y} + a_{z} \vec{e}_{z} 
\nonumber \\
\vec{b} &=& b_{x} \vec{e}_{x} + b_{y} \vec{e}_{y} + b_{z} \vec{e}_{z}
\nonumber
\end{eqnarray}
Zeigen Sie, da"s die Koeffizienten des Vektors 
$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = c_{x} \vec{e}_{x} + c_{y} \vec{e}_{y}
+ c_{z} \vec{e}_{z}$ durch
\begin{equation}
c_{x} = a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}, \; \; \; \; \; 
c_{y} = a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}, \; \; \; \; \;
c_{z} = a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}
\end{equation}
gegeben sind. \newline \vskip 5mm
Weitere Formeln, die man h"aufig ben"otigt, und die mit Hilfe der 
Darstellung mit Einheitsvektoren bewiesen werden k"onnen, sind:
\begin{eqnarray}
\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) &=& \vec{b}(\vec{a} \vec{c}) - 
\vec{c} (\vec{a} \vec{b}) \\
(\vec{a} \times \vec{b}) \vec{c} &=& (\vec{b} \times \vec{c}) \vec{a} =
(\vec{c} \times \vec{a}) \vec{b}  \\
(\vec{a} \times \vec{b})(\vec{c} \times \vec{d}) &=& (\vec{a} \vec{c})
(\vec{b} \vec{d}) - ( \vec{b} \vec{c}) (\vec{a} \vec{d})
\end{eqnarray}
\bf Aufgabe 2: \rm Der Vektor $\vec{a}$ stehe senkrecht auf den Vektoren
$\vec{b}$ und $\vec{c}$. 
Vereinfachen Sie f"ur diese Bedingungen den Ausdruck 
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$.
\newline \vskip 5mm
\bf Aufgabe 3: \rm Betrachten Sie die drei Vektoren
\begin{displaymath}
\vec{u} = (\vec{e}_{x} + \vec{e}_{y})/\sqrt{2}, \; \; \; \; \; 
\vec{v} = (-\vec{e}_{x} + \vec{e}_{y})/\sqrt{2}, \; \; \; \; \;
\vec{w} = \vec{e}_{z}
\end{displaymath}
a) Zeigen Sie, da"s jeder dieser Vektoren ein Einheitsvektor ist. \newline
b) Zeigen Sie, da"s alle drei Vektoren jeweils aufeinander senkrecht 
stehen. \newline 
c) Berechnen Sie die Vektorprodukte von jeweils zwei der drei Vektoren.   
\newline \vskip 5mm 
\bf Aufgabe 4: \rm Betrachten Sie das von den Vektoren $\vec{a}$, 
$\vec{b}$ und $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ aufgespannte Dreieck. \newline
\vskip 3cm
Zeigen Sie mit Hilfe der Vektorprodukte $\vec{a} \times \vec{c}$ und
$\vec{c} \times \vec{b}$, da"s 
\begin{displaymath}
\frac{sin\alpha}{|\vec{a}|} = \frac{sin\beta}{|\vec{b}|} = 
\frac{sin\gamma}{|\vec{c}|}
\end{displaymath}
\end{document}

