\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\centerline{\"Ubungen am 23.10.2003}
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\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 1:} \newline     
In den folgenden Gleichungen sei $x$ eine L\"ange, $t$ eine Zeit, 
$v$ eine Geschwindigkeit, $a$ eine Beschleunigung und $k$ eine
dimensionslose Zahl: 
\begin{displaymath}
a) \; \; \; v^{n} = k a^{j} x, \; \; \; \; \; \;
b) \; \; \; k = a^{n} v^{j} t^{i} \; \; \; \; \;
c) \; \; \; x = a^{n} t^{j} \; sin(x t^{i} a^{l}) 
\end{displaymath}
Bestimmen Sie f\"ur die jeweiligen Gleichungen die von Null verschiedenen
kleinsten Zahlen $n,\; j,\; i$ und $l$. \newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 2:} \newline
Gegeben seien 2 Vektoren $\vec{u} = \vec{e}_{x} + \vec{e}_{y}$ und
$\vec{w} = \vec{e}_{y} + \vec{e}_{z}$, wobei $\vec{e}_{x}$, $\vec{e}_{y}$ und
$\vec{e}_{z}$ die Einheitsvektoren entlang der Achsen eines rechtwinkligen
Koordinatensystems sind. Bestimmen Sie die Einheitsvektoren, die sowohl auf
$\vec{u}$ als auch auf $\vec{w}$ senkrecht stehen. \newline \vskip 2mm 
{\bf Aufgabe 3:} \newline
Die Geschwindigkeit eines K\"orpers werde in einem rechtwinkligen
Koordinatensystem durch folgende Gleichung beschrieben:
\begin{displaymath}
\vec{v}(t) = \left( \begin{array}{c} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} a \; sin(\omega t) \\ b \; cos(\omega t) \\
v_{0} + qt \end{array} \right) 
\end{displaymath}
a) Berechnen Sie den Ortsvektor $\vec{r}(t)$, der die Bahn des K\"orpers
im Raum beschreibt. Skizzieren Sie die Projektion der Bahn in die $x$- $y$-
Ebene. \newline 
b) Welche Beschleunigungen wirken auf den K\"orper ? \newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 4:} \newline
Ein Schiff f\"ahrt mit der Str\"omung auf einem Flu"s. Unterhalb einer
Br\"ucke verliert es eine Holzkiste. Nach einer halben Stunde Fahrtzeit 
bemerkt der Kapit\"an den Verlust, kehrt um und nimmt 5 $km$ von der
Br\"ucke entfernt die Kiste wieder an Bord. Wie gro"s ist die 
Geschwindigkeit des Stromes, wenn das Schiff stromabw\"arts und 
stromaufw\"arts mit der gleichen Geschwindigkeit relativ zum Wasser
f\"ahrt.  \newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 5:} \newline
Ein Schiff segelt bei ruhigem Wasser mit einer Geschwindigkeit von
12 Knoten hart am Wind nach Westen. Der Wind kommt aus S\"udwesten mit
einer Geschwindigkeit von 3,5 $m/s$. Welche Windgeschwindigkeit und welche
Windrichtung relativ zur Fahrtrichtung messen Sie als Skipper auf dem
Schiff ? \newpage
{\bf L\"osungen zu den \"Ubungen am 23.10.2003} \newline
{\bf Aufgabe 1:} Die Dimensionen m\"ussen auf beiden Seiten der Gleichung \"ubereinstimmen.
Dieses ergibt: 
\begin{displaymath}
a) \; \; \; \left[ \frac{m}{s} \right]^{n} = k \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{j} [m]
\; \; \; \rightarrow \; \; \; 1 = \left[ \frac{m^{n-j-1}}{s^{n-2j}} \right].
\end{displaymath}
Daher muss $n-2j=0$ und $n-j-1=0$ sein, d.h. $n=2$ und $j=1$.
\begin{displaymath}
b) \; \; \; 1 = \left[ \frac{m}{s^{2}}\right]^{n} \left[ \frac{m}{s} \right]^{j} [s]^{i} \; \; \; 
\rightarrow \; \; \; 1 = \left[ \frac{m^{n+j}}{s^{2n+j-i}} \right].
\end{displaymath}
Also: $n+j=0$ und $2n+j-i=0$, oder $n=1$, $j=-1$ und $ i=1 $. \newline
c) Hier haben wir 2 Bedingungen. Einmal muss das Argument der Sinusfunktion dimensionslos sein,
dieses ergibt
\begin{displaymath}
1 = [m][s]^{i} \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{l} \; \; \; \rightarrow \; \; \; 
1+l = 0 \; \; \; und \; \; \; i-2l = 0.
\end{displaymath}
Zum anderen muss der Faktor vor der Sinusfunktion die Dimension einer L\"ange haben, also
\begin{displaymath}
[m] = \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{n} [s]^{j} \; \; \; \rightarrow \; \; \;
n-1 = 0 \; \; \; und \; \; \; j-2 = 0.
\end{displaymath}
Zusammen ergeben diese Bedingungen $n=1$, $j=2$, $l=-1$, und $i=-2$.   \newline
{\bf Aufgabe 2:} Als Ansatz setzen wir allgemein $\vec{v} = v_{x}\vec{e}_{x} + v_{y}\vec{e}_{y}
+ v_{z} \vec{e}_{z}$. Der Vektor $\vec{v}$ soll orthogonal (senkrecht) auf $\vec{u}$ und
$\vec{w}$ stehen, d.h. die beiden Skalarprodukte $\vec{u}\cdot \vec{v}$ und $\vec{w} \cdot \vec{v}$
m\"ussen verschwinden. Diese Bedingungen f\"uhren auf 
\begin{displaymath}
\vec{u} \cdot \vec{v} = v_{x} + v_{y} = 0 \; \; \; \; \; und \; \; \; \; \;
\vec{w} \cdot \vec{v} = v_{y} + v_{z} = 0
\end{displaymath}
Damit erhalten wir $v_{y} = - v_{x}$ und $v_{z} = -v_{y} = v_{x}$. Die orthogonalen Vektoren sind also
$\vec{v} = v_{x} (\vec{e}_{x} - \vec{e}_{y} + \vec{e}_{z})$ mit beliebigem $v_{x}$. F\"ur
einen Einheitsvektor gilt $\vec{v} \cdot \vec{v} = 1$, d.h.
$\vec{v} \cdot \vec{v} = v_{x}^{2}(1 + 1 + 1)= 3 v_{x}^{2} =1$ oder $v_{x} = \pm 1/\sqrt{3}$.
Die L\"osung ist also
\begin{displaymath}
\vec{v} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} (\vec{e}_{x} - \vec{e}_{y} + \vec{e}_{z}).
\end{displaymath} 
{\bf Aufgabe 3:} a) Gesucht ist
\begin{displaymath}
\vec{r}(t) = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} \int v_{x} dt \\ \int v_{y} dt \\ \int v_{z} dt \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} -(a/\omega ) cos(\omega t) \\ (b/\omega ) sin(\omega t) \\ 
v_{0}t +(1/2) q t^{2} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0}
\end{array} \right).
\end{displaymath}
Wegen
\begin{displaymath}
\frac{(x-x_{0})^{2}}{(a/\omega)^{2}} + \frac{(y-y_{0})^{2}}{(b/\omega)^{2}} =1
\end{displaymath}
ergibt die Projektion auf die x-y- Ebene eine Ellipse. \newline \vskip 3cm
b) Die Beschleunigung ist
\begin{displaymath}
\vec{a}(t) = \left( \begin{array}{c} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{array} \right) =
\frac{d}{dt} \left( \begin{array}{c} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{array} \right)   
= \left( \begin{array}{c} a \omega \; cos(\omega t) \\ -a \omega \; sin(\omega t) \\
q \end{array} \right)
\end{displaymath}
Der K\"orper wird also insbesondere in z- Richtung mit konstanter Beschleunigung $q$ bewegt. \newline
{\bf Aufgabe 4:} In der folgenden Skizze ist $L_{1}$ die Strecke des Schiffes bis zur Umkehr,
$L_{2}$ die Strecke des Schiffes bis zur Bergung der Kiste, \newline \vskip 3cm
Damit ist $L=5 km = L_{1}-L_{2}$. Wenn $v$ die Geschwindigkeit des Stromes ist und $v_{S}$
die Geschwindigkeit des Schiffes, so gelten die drei Gleichungen $v_{S} + v = L_{1}/t_{1}$, 
$v_{S}-v = L_{2}/t_{2}$ und $v = L/(t_{1}+t_{2})$. Aus den beiden ersten Gleichungen folgt
\begin{displaymath}
v = \frac{L}{2 t_{1}} + \frac{L_{2}}{2} \left( \frac{1}{t_{1}} - \frac{1}{t_{2}} \right).
\end{displaymath}
Dieser Ausdruck ist nur dann mit der dritten Gleichung vertr\"aglich, wenn $t_{1} = t_{2}$
ist, d.h. $v = L/(2t_{1})$. Mit $L = 5 \; km$ und $t_{1} = 0,5 \; h$ folgt $v = 5 \; km/h$.  \newline
{\bf Aufgabe 5:} 12 Knoten sind $12 \cdot 1,85 \; km/h = 6,17 \; m/s$. Wir w\"ahlen ein
Koordinatensystem mit x- Achse nach Osten und y- Achse nach Norden. \newline \vskip 3cm
Schiff und Wind haben dann die Geschwindigkeiten
\begin{displaymath}
\vec{v}_{Schiff} = \left( \begin{array}{c} -6,17 \; m/s \\ 0 \\ 0 \end{array} \right), \; \; \; \; \;
\vec{v}_{Wind} = \left( \begin{array}{c} 3,5/\sqrt{2} \; m/s \\ 3,5/\sqrt{2} \; m/s \\ 0 \end{array}
\right) = \left( \begin{array}{c} 2,47 \; m/s \\ 2,47 \; m/s \\ 0 \end{array} \right).
\end{displaymath}
Der auf dem Schiff gemessene scheinbare Wind ist 
\begin{displaymath}
\vec{v} = \vec{v}_{Wind} - \vec{v}_{Schiff} = \left( \begin{array}{c} 8,64 \; m/s \\ 2,47 \; m/s \\
0 \end{array} \right).
\end{displaymath}
mit $|\vec{v}| = v = 9 \; m/s$. Das Skalarprodukt zwischen scheinbarem Wind und Fahrtrichtung
ist $\vec{v} \cdot \vec{v}_{Schiff} = |\vec{v}| \cdot |\vec{v}_{Schiff}| cos\varphi$ und damit der
Winkel $cos\varphi = -0,96$ oder $\varphi = 164^{o}$.
\end{document}

