Lösungen zur Übung Nr.10
Besprechung: Donnerstag 22.Januar 2004

Aufgabe 1: (5 Punkte)
Im ersten Fall muß die gesamte Wassermenge $m$ auf die Höhe $h$ gebracht werden. Energieerhaltung verlangt hier einfach $E_{a} = m g h$. Im zweiten Fall beträgt die Energie zum Anheben der Wasseroberfläche um den Betrag $dz$:

\begin{displaymath}
d E_{b} = F \; dz = p A \; dz = \rho g A z \; dz,
\end{displaymath}

wobei $A$ die Tankbodenfläche ist. Integration liefert

\begin{displaymath}
E_{b} = \int_{0}^{h} d E_{b} = \rho g A \frac{h^{2}}{2} = \frac{1}{2} m g h
\end{displaymath}

Also ist $E_{b} = E_{a}/2$, man benötigt im zweiten Fall also nur halb so viel Energie. Dieses Ergebnis ist plausibel, da die potentielle Energie im ersten Fall beim Herunterfallen des Wassers verloren geht bzw. in Wärme umgewandelt wird.
Aufgabe 2: Siehe Lösungen Blatt 9.
Aufgabe 3: (5 Punkte)
Die rücktreibende Kraft ist gleich der Trägheitskraft,

\begin{displaymath}
F = \rho A 2xg = \rho A L \frac{d^{2}x}{dt^{2}}
\end{displaymath}

wobei $x$ die Auslenkung aus der Ruhelage ist. Daraus folgt die DGL

\begin{displaymath}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} - \frac{2 g}{L} x = 0
\end{displaymath}

Vergleich mit der allgemeinen linearen Schwingungsgleichung

\begin{displaymath}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} - \omega_{0}^{2} x = 0
\end{displaymath}

zeigt, daß $\omega_{0}^{2} = 2 g /L$ ist und daher

\begin{displaymath}
T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{2g}} = 0,63 \; s.
\end{displaymath}

Aufgabe 4: (6 Punkte)
Wir betrachten das Massenelement $dm = \rho A \; dx$ der Stange.

Das Drehmoment der Schwerkraft ist

\begin{displaymath}
\tau_{g} = g sin\varphi \int_{0}^{L} x \; dm = \frac{1}{2} \rho g A sin(\varphi) \; L^{2}
\end{displaymath}

und das Drehmoment des Auftriebs

\begin{displaymath}
\tau_{A} = \rho_{Fl} g A sin\varphi \int_{L_{1}}^{L} x \; dx...
...\rho_{Fl} g A sin\varphi \left( 1 - \frac{1}{4} \right) L^{2}.
\end{displaymath}

Mit $\tau_{g} = \tau_{A}$ folgt

\begin{displaymath}
\rho = \frac{3}{4} \rho_{Fl}.
\end{displaymath}

Bei Wasser mit $\rho_{Fl} = 1 \; gr/cm^{3}$ folgt $\rho = 0,75 \; g/cm^{3}$.



Harm Fesefeldt
2007-08-01