\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L\"osungsvorschl\"age zur \"Ubung Nr.7}
\large
\centerline{Besprechung: Donnerstag 18.Dezember 2003}
\normalsize
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
a) Die Zentrifugalkraft ergibt sich zu
\begin{displaymath}
F_{Z} = m \omega^{2} r.
\end{displaymath}
Die Schwerkraft an der Erdoberfl\"ache ist
\begin{displaymath}
F_{G} = m g.
\end{displaymath}
Daher
\begin{displaymath}
m \omega^{2} r = mg \; \; \; \; \;  \rightarrow \; \; \; \; \; \omega = \sqrt{g/r} = 0,44 \; rad/s.
\end{displaymath}
Die zus\"atzliche Kraft ist die Corioliskraft
\begin{displaymath}
\vec{F}_{C} = 2 m \vec{v} \times \vec{\omega}.
\end{displaymath}
Da in diesem Fall $\vec{v}\perp \vec{\omega}$, ist
\begin{displaymath}
F_{C} = 2 m v \omega = 140,8 \; N.
\end{displaymath}
Dieses ist der Grund, warum Raumstationen {\bf so} nicht gebaut werden. Die Corioliskraft w\"urde 
einen Raumfahrer derart hin- und herzerren, dass ihm schlecht werden w\"urde.
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 2:} \hspace{10cm} (8 Punkte) \newline
Die Geschwindigkeit $v_{0}$ des Pendels beim Nulldurchgang (Ruhelage) ist mit Hilfe des Energiesatzes
durch
\begin{displaymath}
\frac{m}{2} v_{0}^{2} = m g l (1 - cos\beta)
\end{displaymath}
oder 
\begin{displaymath}
v_{0} = \sqrt{2 g l (1 - cos\beta)}
\end{displaymath}
gegeben. Daher gilt
\begin{displaymath}
F_{C} = 2 m v_{0} \omega' = 2 m \sqrt{2 g l(1 - cos\beta)} \; \omega'.
\end{displaymath}
Die wirksame Komponente $\omega'$ der Winkelgeschwindigkeit am Ort der geographischen Breite
$\Phi$ ist
\begin{displaymath}
\omega' = \frac{2 \pi}{d^{\ast}} sin\Phi.
\end{displaymath}
mit der Dauer eines Sterntages $d^{\ast} = 86164 \; s$, was sich geringf\"ugig von
$d = 24 \cdot 3600 \; s = 86400 \; s$ unterscheidet. Daher folgt f\"ur die Corioliskraft 
beim Nulldurchgang 
\begin{displaymath}
F_{C} = \frac{4 \pi m}{d^{\ast}} sin\Phi \sqrt{2 g l (1 - cos\beta)} \approx 4,25 \cdot 10^{-4} \; N.
\end{displaymath}
Diese Corioliskraft ist gleich der Zentrifugalkraft der horizontalen Bewegung, d.h.
\begin{displaymath}
F_{C} = 2 m v_{0} \omega' = \frac{m}{r} v_{0}^{2}.
\end{displaymath}
Daraus folgt der Kr\"ummungsradius zu
\begin{displaymath}
r = \frac{v_{0}}{2 \omega'} = \frac{d^{\ast}}{ 4 \pi \; sin\Phi} \sqrt{2 g l (1- cos\beta)}
\approx 5 \; km.
\end{displaymath}
Eine volle Drehung erh\"alt man f\"ur $T = d^{\ast}/sin\Phi \approx 30,8 \; h$. 
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 3:} \hspace{10cm} (7 Punkte) \newline 
Die allgemeine Bewegungsgleichung bei Einwirkung der Schwerkraft und Corioliskraft ist
\begin{displaymath}
m \vec{a} = - m g \vec{e}_{z} - 2 m \vec{\omega} \times \vec{v}
\end{displaymath}
Hierbei sind $\vec{a}$ und $\vec{v}$ Beschleunigung und Geschwindigkeit im mitbewegten System.
\newline \vskip 4cm
Die Ausrechnung f\"uhrt im allgemeinen auf ein kompliziertes System gekoppelter DGL's.
In N\"aherung k\"onnen wir die Bewegung in der $z$- Richtung und $x$- Richtung jedoch sofort
entkoppeln,
\begin{eqnarray}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} &=& a_{x} = - 2 \omega v_{z} \nonumber \\
\frac{d^{2}z}{dt^{2}} &=& a_{z} = -g \nonumber 
\end{eqnarray}
Wir setzen die L\"osung $v_{z} = v_{0} - gt$ der zweiten Gleichung in die erste ein und
erhalten:
\begin{displaymath}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = - 2 \omega (v_{0} - gt) = - 2 \omega v_{0} + 2 \omega g t .
\end{displaymath}
Integration und Ber\"ucksichtigung der Anfangsbedingungen liefert
\begin{eqnarray}
x(t) &=& - \omega v_{0} t^{2} + \frac{1}{3} \omega g t^{3} \nonumber \\
z(t) &=& v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2} \nonumber 
\end{eqnarray}
Mit $v_{0} = \sqrt{2 g h}$ folgt aus der zweiten Gleichung die Zeit bis zum Auftreffen:
\begin{displaymath}
T = 2 \sqrt{\frac{2 h}{g}}
\end{displaymath}
und damit Abweichung
\begin{displaymath}
x(T) = - \omega \sqrt{2 g h} \frac{8h}{g} + \frac{1}{3} \omega g \frac{16 h}{g} \sqrt{\frac{2h}{g}}
     = -\frac{24}{3} h \omega \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{16}{3} h \omega \sqrt{\frac{2 h}{g}}
     = - \frac{8}{3} h \omega \sqrt{\frac{2h}{g}}
\end{displaymath}
Einsetzen der Zahlenwerte ergibt $x(T) = - 8,8 \; cm$. \newline
Wir vergleichen unser Ergebnis mit dem freien Fall aus 100 $m$ H\"ohe.
Hier ist $z(t) = h - (1/2) g t^{2}$, $T = \sqrt{2h/g}$ und damit die Abweichung
\begin{displaymath}
x(T) = \frac{1}{3} \omega g T^{3} = \frac{2}{3} \omega h \sqrt{\frac{2h}{g}} = + 2,2 \; cm.
\end{displaymath}  
\end{document}
