Lösungen zur Übung Nr.6
Besprechung: Donnerstag 11.Dezember 2003
Aufgabe 1: (7 Punkte)
Wir zerlegen den Kreiskegel in Scheiben der Dicke und Radius
Die Masse
einer Kreisscheibe ist
. Die Masse des
gesamten Kreiskegels ist dann
a) Aus Symmetriegründen liegen die - und - Koordinaten des Schwerpunktes bei
und . Für die - Koordinate folgt nach Definition:
b) Das Trägheitsmoment einer Kreisscheibe ist nach Vorlesung
. Integration von
bis ergibt:
Aufgabe 2: (7 Punkte)
a) Das Trägheitsmoment bei Rotation um die - Achse ist allgemein in Kugelkoordinaten
Entsprechend gilt für die Masse
Bei vernachlässigbarer Wandstärke kann gesetzt werden, sodass
oder, ausgeschrieben:
Daher ist
oder
. Das Trägheitsmoment der Vollkugel war in der Vorlesung
angegeben:
.
b) Die kinetische Energie beim Rollen auf der Ebene ist
wobei für die Hohlkugel und für die Vollkugel ist.
Wegen
folgt einfach
Diese Energie wird in potentielle Energie umgesetzt
und daher
Damit folgt für die Vollkugel
und für die Hohlkugel
.
Hierbei kommt es weder auf die Masse der Kugeln, noch auf deren Abmessungen an. Es geht nur die
Anfangsgeschwindigkeit ein.
Aufgabe 3: (6 Punkte)
Für die Beschleunigung des Jojo's gilt nach Vorlesung
Das Trägheitsmoment der Scheibe ist:
Entsprechend für die Achse:
Also ist
.
a) Die Gewichtsänderung ist wegen
durch
gegeben.
b) Wenn man (bei gleicher Masse) den Radius der Achse verdoppelt, so wird
vervierfacht.
Harm Fesefeldt
2007-08-01