Lösungen zur Übung Nr.6
Besprechung: Donnerstag 11.Dezember 2003

Aufgabe 1: (7 Punkte)
Wir zerlegen den Kreiskegel in Scheiben der Dicke $dz$ und Radius $r = R(1 - z/H)$ Die Masse einer Kreisscheibe ist $dm = \rho \pi r^{2} dz = \rho \pi R^{2}(1-z/H)^{2} dz$. Die Masse des gesamten Kreiskegels ist dann

\begin{displaymath}
M = \int dm \ \rho \pi R^{2} \int_{0}^{H} \left( 1 - \frac{z}{H} \right)^{2} dz
= \frac{1}{3} \rho \pi R^{2} H.
\end{displaymath}

a) Aus Symmetriegründen liegen die $x$- und $y$- Koordinaten des Schwerpunktes bei $x_{S}=0$ und $y_{S} = 0$. Für die $z$- Koordinate folgt nach Definition:

\begin{displaymath}
z_{S} = \frac{1}{M} \int_{0}^{H} z \; dm = \frac{\rho \pi R^...
...{2} z \; dz = \frac{\rho \pi R^{2}}{12 M} H^{2} = \frac{H}{4}.
\end{displaymath}

b) Das Trägheitsmoment einer Kreisscheibe ist nach Vorlesung $dI = (1/2) r^{2} dm$. Integration von $0$ bis $H$ ergibt:

\begin{displaymath}
I = \int dI = \frac{1}{2} \rho \pi R^{4} \int_{0}^{H} \left(...
...)^{4}
= \frac{1}{10} \rho \pi R^{4} H = \frac{3}{10} M R^{2}.
\end{displaymath}


Aufgabe 2: (7 Punkte)
a) Das Trägheitsmoment bei Rotation um die $z$- Achse ist allgemein in Kugelkoordinaten

\begin{displaymath}
I = \int(x^{2} + y^{2}) dm = \rho \int(x^{2} + y^{2}) dV
= \...
...arphi
= \rho \int r^{4} sin^{3}\theta \; dr d\theta d\varphi.
\end{displaymath}

Entsprechend gilt für die Masse

\begin{displaymath}
M = \int dm = \rho \int dV = \rho\int r^{2} sin\theta \; dr d\theta d\varphi.
\end{displaymath}

Bei vernachlässigbarer Wandstärke kann $r \approx R$ gesetzt werden, sodass

\begin{displaymath}
I = \rho R^{4} \int sin^{3}\theta \; dr d\theta d\varphi, \;...
...; \; \;
M = \rho R^{2} \int sin\theta \; dr d\theta d\varphi.
\end{displaymath}

oder, ausgeschrieben:

\begin{displaymath}
I = \rho R^{4} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{R'}^{R} ...
...\int_{0}^{\pi} \int_{R'}^{R} sin\theta \; dr d\theta d\varphi.
\end{displaymath}

Daher ist

\begin{displaymath}
\frac{I}{M} = R^{2} \frac{\int_{0}^{\pi} sin^{3}\theta \; d\theta}{\int_{0}^{\pi} sin\theta \; d\theta}
= \frac{2}{3} R^{2}.
\end{displaymath}

oder $I_{HK} = (2/3) M R^{2}$. Das Trägheitsmoment der Vollkugel war in der Vorlesung angegeben: $I_{VK} = (2/5) M R^{2}$.
b) Die kinetische Energie beim Rollen auf der Ebene ist

\begin{displaymath}
E_{kin} = E_{trans} + E_{rot} = \frac{1}{2} M v_{trans}^{2} ...
...}
= \frac{1}{2} M v_{trans}^{2} + \frac{1}{2} q M v_{rot}^{2},
\end{displaymath}

wobei $q = 2/3$ für die Hohlkugel und $q = 2/5$ für die Vollkugel ist. Wegen $v_{rot} = v_{trans} = v^{2}$ folgt einfach

\begin{displaymath}
E_{kin} = \frac{1}{2} (1 + q) M v^{2}.
\end{displaymath}

Diese Energie wird in potentielle Energie umgesetzt

\begin{displaymath}
E_{kin} = \frac{1}{2} (1 + q) M v^{2} = M g h
\end{displaymath}

und daher

\begin{displaymath}
h = \frac{(1+q)v^{2}}{2g}
\end{displaymath}

Damit folgt für die Vollkugel $h_{1} = 0,56 \; m$ und für die Hohlkugel $h_{2} = 0,67 \;$. Hierbei kommt es weder auf die Masse der Kugeln, noch auf deren Abmessungen an. Es geht nur die Anfangsgeschwindigkeit ein.
Aufgabe 3: (6 Punkte)
Für die Beschleunigung des Jojo's gilt nach Vorlesung

\begin{displaymath}
a = \frac{mr^{2}}{mr^{2} + I} g.
\end{displaymath}

Das Trägheitsmoment der Scheibe ist:

\begin{displaymath}
I_{Scheibe} = \frac{1}{2} m_{Scheibe} r^{2}_{Scheibe} = 10418 \; g \cdot cm^{2}.
\end{displaymath}

Entsprechend für die Achse:

\begin{displaymath}
I_{Achse} = \frac{1}{2} m_{Achse} r^{2}_{Achse} = 0,97 \; g \cdot cm^{2}.
\end{displaymath}

Also ist $I = I_{Scheibe} + I_{Achse} \approx I_{Scheibe}$.
a) Die Gewichtsänderung ist wegen

\begin{displaymath}
\Delta m \; g = m g - m(g-a) = m a = m \frac{mr^{2}_{Achse}}{mr^{2}_{Achse} + I} g
\approx m \frac{m r^{2}_{Achse}}{I} g
\end{displaymath}

durch $\Delta m = 0,76 \; g$ gegeben.
b) Wenn man (bei gleicher Masse) den Radius der Achse $r_{Achse}$ verdoppelt, so wird $\Delta \approx m (m r^{2}_{Achse}/I)$ vervierfacht.



Harm Fesefeldt
2007-08-01