Lösungsvorschläge zur Übung Nr.5
Besprechung: Donnerstag 4.Dezember 2003
Aufgabe 1: (5 Punkte)
Es handelt sich um einen zentralen, elastischen Stoß, daher erhalten wir für die Geschwindigkeiten
der beiden Massen nach dem Stoß:
folgt aus dem Energiesatz (
) zu
a) Einsetzen ergibt
b) Die kinetische Energie der Masse nach dem Stoß,
wird beim Maximalausschlag umgesetzt in potentielle Energie
,
oder
Der Winkel schliesslich ist(
):
Aufgabe 2: (7 Punkte)
a) Aus der Abbildung folgt:
oder
Dieses ist eine transzendente Gleichung, die wir graphisch lösen:
Die Näherungslösung ist
.
b) Für ist
oder
In dieser Formel ist
und damit für die Grenzfrequenz
. Dieses ist genau die Frequenz des linearen zweidimensionalen Pendels,
das System geht in eine zweidimensionale Schwingung über. Physikalisch bedeutet das,
dass die Komponente der Schwerkraft senkrecht zum Pendel grundsätzlich größer wird als die
Komponente der Fliehkraft.
Mit
gilt für
die Abschätzung:
also
Aufgabe 3 (8 Punkte)
Zur Lösung der Aufgabe setzt man für einen der Wagen die Kraftgleichung aus Federkraft und
Zentrifugalkraft an:
wobei die Position des Wagens auf der Schiene von der Drehachse aus gemessen ist. Wir brauchen keine Vektoren
zu schreiben, da beide Kräfte in Richtung von zeigen. Auf einen der beiden Wagen wirkt nur die
halbe Federkraft. Daher gilt:
Mit können wir auch schreiben:
Als erstes bestimmen wir die Gleichgewichtslage des Wagens. In diesem Fall wirkt keine Beschleunigung, also
und
Da sein muss, existiert nur eine Gleichgewichtslage für und
(1. Fall) oder
und
(2. Fall). Für
und ist der Wagen immer im Gleichgewicht
(indifferentes Gleichgewicht).
Zur Untersuchung der Stabilität der Gleichgewichtslagen lenken wir den Wagen um eine kleine
Strecke aus und untersuchen die Reaktion des Wagens auf diese Störung.
Die Bewegungsgleichung wird zu
Setzt man noch für die bereits oben angeschriebene Lösung ein, so folgt nach einigen Umformungen die DGL
Falls
(2. Fall) wird der Wagen bei einer positiven Auslenkung weiter nach aussen beschleunigt
(
). Dieser Fall ist also instabil.
Falls
(1. Fall) wird der Wagen bei einer positiven Auslenkung zurück nach innen,
also zur Gleichgewichtslage hin, beschleunigt (
). Dieser Fall ist also stabil und kann als
Fliehkraftregler benutzt werden.
Harm Fesefeldt
2007-08-01