\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L\"osungsvorschl\"age zur \"Ubung Nr.1}
\large
\centerline{Besprechung: Donnerstag 6.November 2003}
\normalsize
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (6 Punkte) \newline
Wir gehen aus von der Formel
\begin{displaymath}
s = s_{0} + \frac{a}{2} t^{2}
\end{displaymath}
und ersetzen $t$ durch $t=v/a$, wobei dann allerdings $a$ als konstant angenommen werden mu"s.
Dann gilt
\begin{displaymath}
s = s_{0} + \frac{v^{2}}{2a} \; \; \; \; \; \rightarrow \; \; \; \; \;
v^{2} = 2a(s-s_{0}).
\end{displaymath}
Die drei Geschwindigkeitsmessungen bezeichnen wir mit $v_{1} = 0,402 \; m/s$, 
$v_{2} = 0,694 \; m/s$ und $v_{3} = 0,901 \; m/s$ bei den Strecken $s_{1} = 0$,
$s_{2} = 1,2 \; m$ und $s_{3} = 2,4 \; m$. Aus je zwei Messungen kann die unbekannte Beschleunigung
$a$ eliminiert werden und $s_{0}$ berechnet werden:
\begin{displaymath}
(s_{0})_{i,j} = \frac{s_{i} v_{j}^{2} - s_{j} v_{i}^{2}}{v_{j}^{2}-v_{i}^{2}}, \; \; \; \; \;
i,j = 1,2,3; \; \; \; i \neq j.
\end{displaymath}
Die Ergebnisse sind
\begin{displaymath}
(s_{0})_{1,2} = - 0,61 \; m \; \; \; \; \; (s_{0})_{1,3} = - 0,60 \; m \; \; \; \; \;
(s_{0})_{2,3} = -0,55 \; m.
\end{displaymath}
Der Messwert $(s_{0})_{1,3}$ stimmt exakt mit dem experimentellen Wert \"uberein. Hier hat
man einerseits den gr\"o"sten Hebelarm, zum anderen kommt man mit der Messung bei $s_{1}=0$
am dichtesten an den Startwert heran. \newpage
{\bf Aufgabe 2:} \hspace{10cm} (6 Punkte) \newline
Auf die statistische Behandlung der Maximum-Likelohood und $\chi^{2}$- Methoden werden wir in
einer sp\"ateren \"Ubung noch einmal zur\"uckkommen. Insbesondere m\"ussen wir dann noch
die statistischen Fehler der Sch\"atzwerte bestimmen. Um die $\chi^{2}$- Funktion zu
minimalisieren, m\"ussen die partiellen Ableitungen nach den Paramteren $s_{0}$ und $v$
berechnet werden, und diese Gleichungen zu Null gesetzt werden:
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \chi^{2}}{\partial s_{0}} &=& \sum_{i=1}^{5} 2 w_{i}(s_{0}+v t_{i} - s_{i}) = 0 
\nonumber \\
\frac{\partial \chi_{2}}{\partial v} &=& \sum_{i=1}^{5} 2 w_{i}(s_{0}+vt_{i} - s_{i}) t_{i} = 0
\nonumber 
\end{eqnarray}
Da $2 w_{i} = w = konstant$, k\"onnen diese aus den Gleichungen herausgenommmen werden.
Dann folgt
\begin{eqnarray}
s_{0} \sum_{i=1}^{5} 1 + v \sum_{i=1}^{5} t_{i} - \sum_{i=1}^{5} s_{i} &=& 0 \nonumber \\
s_{0} \sum_{i=1}^{5} t_{i} + v \sum_{i=1}^{5} t_{i}^{2} - \sum_{i=1}^{5} s_{i} t_{i} &=& 0 \nonumber
\end{eqnarray}
Wir rechnen die Summen numerisch aus und erhalten die beiden Gleichungen
\begin{eqnarray}
5 s_{0} + 15 v - 84,9 &=& 0 \nonumber \\
15 s_{0} + 55 v - 286,1 &=& 0 \nonumber 
\end{eqnarray}
Die L\"osung dieses Gleichungssystems ergibt $s_{0} = 7,62 \; m$ und $v = 3,12 \; m/s$.
Die exakten Werte waren $s_{0} = 7 \;m$ und $v = 3 \; m/s$. Die Strecken $s_{i}$ wurden 
normalverteilt mit $\sigma_{s} = 1 \; m$ verschmiert. 
\newpage
{\bf Aufgabe 3:}  \hspace{10cm} (8 Punkte) \newline
Der Wagen  mit der Masse $m_{2}$ wird von der Kraft $F_{2}$ beschleunigt. Sofern wir das Seil als
masselos ansehen, wirkt die gleiche Kraft in entgegengesetzter Richtung auf das Gewicht
$m_{1}$, d.h. $F_{1} = F_{2}$. Die Masse $m_{1}$ unterliegt noch zus\"atzlich der Schwerkraft,
daher
\begin{eqnarray}
F_{2} &=& m_{2} a_{2} \nonumber \\
m_{1} g - F_{1} &=& m_{1} a_{1}  \nonumber 
\end{eqnarray}
Wegen $F_{1} = F_{2} = m_{2} a_{2}$ also
\begin{displaymath}
m_{1}g - m_{2} a_{2} = m_{1} a_{1} 
\end{displaymath}
Als weitere Nebenbedingungen haben wir $a_{1} = a_{2} = a$, daher
\begin{displaymath}
m_{1} g - m_{2} a = m_{1} a \; \; \; \; \; \rightarrow \; \; \; \; \; 
a = \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} g \approx 2,5 \; m/s^{2}.
\end{displaymath}
Die am Seil angreifende Kraft ist
\begin{displaymath}
F = F_{1} = F_{2} = m_{2} a_{2} = 1,5 \cdot 2,5 \; N \approx 3,75 \; N.
\end{displaymath} 
c) Im zweiten Fall greift auch an der Masse $m_{2}$ eine Schwerkraft an, und zwar
$F_{g} = m_{2} g \; sin\alpha$. Das Gleichungssystem \"andert sich wie folgt
\begin{eqnarray}
F_{2} - m_{2} g sin\alpha &=& m_{2} a_{2} \nonumber \\
m_{1} g - F_{1} &=& m_{1} a_{1} \nonumber
\end{eqnarray}
Da wiederum $F_{1} = F_{2} = F$ und $a_{1} = a_{2} = a$ gilt, folgt
\begin{eqnarray}
a &=& \frac{m_{2} sin\alpha - m_{1}}{m_{1} + m_{2}} g \approx 2,8 \; m/s^{2} \nonumber \\
F &=& \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}} (1+sin\alpha) g \approx 6,4 \; N. \nonumber
\end{eqnarray}
Welche Richtung hat die Bewegung ? 
\end{document}
