Aufgaben zum Dopplereffekt

Aufgaben zum Dopplereffekt erfreuen sich allgemeiner Beliebtheit in Klausuren und Prüfungen. Die allgemeinste Formel lautet (siehe Skript Seite 38):

$$\omega = \omega_{0} \frac{\omega_{0} - \vec{k} \cdot \vec{u}_{B}} {\omega_{0} + \vec{k} \cdot \vec{u}_{Q}}.$$

Rechnen Sie in den folgenden Fragen und Aufgaben mit der Schallgeschwindigkeit $c = 340 \; m/s = 1224 \; km/h$.
Frage 1:
Erklären Sie in Worten die oben angegebene Formel und fertigen Sie eine Skizze der vorkommenden Vektoren an.
Frage 2:
Leiten Sie aus der obigen Formel die beiden Spezialfälle her:
a) Quelle und Beobachter bewegen sich aufeinander zu:

$$\nu = \nu_{0} \frac{1+ u_{B}/c}{1-u_{Q}/c}.$$

b) Quelle und Beobachter bewegen sich voneinander weg:

$$\nu = \nu_{0} \frac{1- u_{B}/c}{1+ u_{Q}/c}.$$

Frage 3:
a) Welche Frequenz $\nu$ empfängt ein Beobachter, der sich einer mit der Frequenz $\nu_{0}$ ausstrahlenden Schallquelle mit der halben Schallgeschwindigkeit $v = c/2$ nähert ?
b) Welche Frequenz empfängt er dagegen, wenn der Beobachter ruht und die Schallquelle sich ihm mit der halben Schallgeschwindigkeit $v = c/2$ nähert ?
Frage 4:
Was passiert in der vorigen Aufgabe, wenn die Geschwindigkeit $v$ gleich der Schallgeschwindigkeit ist ?
Frage 5:
Ein an der Autobahn stehender Verkehrspolizist nimmt bei einem vorbeifahrenden PKW eine Tonerhöhung von genau einer großen Terz ( $\nu_{2}/\nu_{1} = 4:5$) wahr. Auf welche Fahrgeschwindigkeit $v$ kann er schließen ?
Frage 6:
Die Sirene eines Polizeiwagens, der mit der Geschwindigkeit $v_{1} = 70 \; km/h$ fährt, erzeugt einen Ton der Frequenz $\nu = 2500 \; Hz$.
a) Welche Frequenz hört der Fahrer eines Wagens, der mit der Geschwindigkeit $v_{2} = v_{1}/2$ hinter dem Polizeifahrzeug fährt ?
b) Mit welcher Geschwindigkeit muß der Fahrer des zweiten Wagens fahren, damit er die Originalfrequenz $\nu$ des Polizeiwagens hört ? Frage 7:
Ein Zug fährt mit $72 \; km/h$ auf einen Tunnel zu, der durch einen Berg fährt. Dabei stößt er Warnsignale mit der Frequenz $500 \; Hz$ aus, die vom Berg als Echo reflektiert werden. Welche Frequenz hat das Echo für einen Reisenden im Zug ?

Lösungen

Frage 1:
Siehe Skript Seite 38.
Frage 2:
a) Hier ist $\vec{k} \cdot \vec{u}_{B} = - k u_{B}$ und $\vec{k} \cdot \vec{u}_{Q} = + k u_{Q}$. Mit $k = \omega_{0}/c$ und $\omega = 2\pi \nu$ folgt die Behauptung.
b) Hier ist umgekehrt $\vec{k} \cdot \vec{u}_{B} = + k u_{B}$ und $\vec{k} \cdot \vec{u}_{Q} = - k u_{Q}$.
Frage 3:
a) Wegen $u_{Q} = 0$ und $u_{B} = c/2$ folgt $\nu = \nu_{0} (1 + 1/2) = (3/2) \nu_{0}$.
b) In diesem Fall ist $\nu = \nu_{0}/(1 - 1/2) = 2 \nu_{0}$.
Frage 4:
a) Wie in Aufgabe 3 gilt $\nu = \nu_{0}(1 + 1) = 2 \nu_{0}$
b) In diesem Fall funktioniert die Formel nicht mehr, da $\nu = \nu_{0}/(1-1) \rightarrow \infty$.
Frage 5:
Wegen $\nu_{1} = \nu_{0}/(1-u_{Q}/c)$ und $\nu_{2} = \nu_{0}/(1 + u_{Q}/c)$ folgt $\nu_{2}/\nu_{1} = (1-u_{Q}/c)/(1+u_{Q}/c)$. Auflösen nach der Quellen- Geschwindigkeit ergibt $u_{Q} = c (1-\nu_{2}/\nu_{1})/(1+\nu_{2}/\nu_{1}) = 136 \; km/h$.
Frage 6:
Hier gilt der Ansatz $\nu' = \nu (1+v_{2}/c)/(1+v_{1}/c) = \nu (c+v_{1}/2)/(c+v_{1}) = 0,97 \; \nu = 2425 \; Hz$.
b) Natürlich $v_{2} = v_{1}$.
Frage 7:
Der Berg wirkt als Empfänger der Frequenz $\nu' = \nu_{0}/(1-v/c)$, die Geschwindigkeit des Bergs ist natürlich $v_{B} = 0$. Wellen dieser Frequenz werden als Echo reflektiert. Ein Reisender im Zug hört daher das Echo mit der Frequenz $\nu'' = \nu' (1 + v/c) = \nu_{0} (1 + v/c)/(1 - v/c) = 563 \; Hz$.