Wiederholung Harmonische Schwingungen
Aufgabe 1:
Ein Pendel der Länge mit einem kugelförmigen
Pendelkörper der Masse und Radius
führt harmonische Schwingungen aus. Der Pendelkörper
taucht vollkommen in Glyzerin ein, wobei er eine Reibungskraft
mit
erfährt.
Die Massendichte des Glyzerin ist
.
a) Wie groß ist die Schwingungsdauer bei kleinen Auslenkungen
aus der Ruhelage ?
b) Wie groß müßte die Konstante sein, um den aperiodischen
Grenzfall zu erreichen ?
Aufgabe 2:
Ein mathematisches Pendel der Länge wird zu
erzwungenen Schwingungen angeregt, indem der Aufhängepunkt in
horizontaler Richtung mit der Amplitude
und der Periodendauer harmonisch bewegt wird.
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Pendels für kleine
Auslenkungen auf !
b) Mit welcher Amplitude schwingt das Pendel im stationären Fall ?
c) Ermitteln Sie die Phasendifferenz zwischen Pendelschwingung
und Erregerschwingung aus dem
- Diagramm !
Aufgabe 3:
In der Vorlesung wurde die Schwebung
bei der Bewegung zweier gekoppelter Oszillatoren diskutiert.
Zeigen Sie hierfür, daß die Gesamtenergie bei der Bewegung
konstant ist !
Lösungen
Aufgabe 1:
a) Die Bewegungsgleichung ist
wobei die um den Auftrieb verringerte Masse des Pendelkörpers
ist:
Wir schreiben die Bewegungsgleichung um,
Diese Gleichung vergleichen wir mit
und erhalten (siehe Skript I.1.2):
Die Schwingungsdauer ist
b) Der aperiodische Grenzfall wird erreicht für , d.h.
Aufgabe 2:
a) Für kleine Auslenkungen ist die Kraft auf das Pendel:
Mit
folgt die Bewegungsgleichung
oder
b) Dieses vergleichen wir mit
und erhalten:
c) Da die Dämpfung vernachlässigt werden konnte, ist
der Nullphasenwinkel für
oder
für
.
(Anmerkung: Das
- Diagramm unterscheidet sich in
einigen Darstellungen durch das Vorzeichen. Dieses liegt an verschiedenen
Ansätzen für die Kraft,
oder
).
In unserem Fall ist
, daher
.
Aufgabe 3:
Nach Vorlesung bedeutet Schwebung eine
Schwingung mit der größeren Frequenz
,
deren Amplitude mit der kleineren Frequenz
moduliert wird. Für die Schwingungen der beiden Pendel und
können wir dann schreiben:
mit
Diese Formeln folgen direkt aus den Angaben im Skript Seite 7
und 8. Die Energien sind
Die Summe beider ist ersichtlich konstant:
Wir berechnen noch die Differenz,
Aus den beiden letzten Gleichungen folgt, daß
Diese Formeln zeigen sehr schön, wie die Energie von dem einen Pendel
zum anderen Pendel hin- und herfließt.
Harm Fesefeldt
2007-11-28