Wiederholung Harmonische Schwingungen
Aufgabe 1:
Ein Pendel der Länge $L = 1 \; m$ mit einem kugelförmigen Pendelkörper der Masse $m = 50 \; g$ und Radius $r = 1,5 \; cm$ führt harmonische Schwingungen aus. Der Pendelkörper taucht vollkommen in Glyzerin ein, wobei er eine Reibungskraft $F_{R} = - \beta v$ mit $\beta = 0,2 \; kg/s$ erfährt. Die Massendichte des Glyzerin ist $\rho = 1,26 \; g/cm^{3}$.
a) Wie groß ist die Schwingungsdauer bei kleinen Auslenkungen aus der Ruhelage ?
b) Wie groß müßte die Konstante $\beta$ sein, um den aperiodischen Grenzfall zu erreichen ?
Aufgabe 2:
Ein mathematisches Pendel der Länge $l = 120 \; cm$ wird zu erzwungenen Schwingungen angeregt, indem der Aufhängepunkt in horizontaler Richtung mit der Amplitude $\xi_{m} = 3 \; mm$ und der Periodendauer $T = 2 \; s$ harmonisch bewegt wird.
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Pendels für kleine Auslenkungen $x_{m}$ auf !
b) Mit welcher Amplitude schwingt das Pendel im stationären Fall ?
c) Ermitteln Sie die Phasendifferenz $\phi$ zwischen Pendelschwingung und Erregerschwingung aus dem $\varphi(\omega)$- Diagramm !
Aufgabe 3:
In der Vorlesung wurde die Schwebung bei der Bewegung zweier gekoppelter Oszillatoren diskutiert. Zeigen Sie hierfür, daß die Gesamtenergie bei der Bewegung konstant ist !
Lösungen
Aufgabe 1:
a) Die Bewegungsgleichung ist

\begin{displaymath}
m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = - m' \frac{g}{L} x - \beta \frac{dx}{dt},
\end{displaymath}

wobei $m'$ die um den Auftrieb verringerte Masse des Pendelkörpers ist:

\begin{displaymath}
m' = m - \frac{4}{3} \pi \rho r^{3} = 0.032 \; kg = 32 \; g.
\end{displaymath}

Wir schreiben die Bewegungsgleichung um,

\begin{displaymath}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{\beta}{m} \frac{dx}{dt}
+ \frac{m' g}{m L} x = 0.
\end{displaymath}

Diese Gleichung vergleichen wir mit

\begin{displaymath}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega_{0}^{2} x = 0,
\end{displaymath}

und erhalten (siehe Skript I.1.2):

\begin{displaymath}
\omega = \sqrt{\frac{m' g}{m L} - \frac{\beta^{2}}{4m^{2}}} = 1,51 \; s^{-1}.
\end{displaymath}

Die Schwingungsdauer ist

\begin{displaymath}
T = \frac{2\pi}{\omega} = 4,16 \; s.
\end{displaymath}


b) Der aperiodische Grenzfall wird erreicht für $\omega = 0$, d.h.

\begin{displaymath}
\frac{m' g}{m L} = \frac{\beta^{2}}{4 m^{2}} \; \; \; \; \; ...
... \; \; \; \; \beta = 2 \sqrt{m m' \frac{g}{L}} = 0,25 \; kg/s.
\end{displaymath}


Aufgabe 2:
a) Für kleine Auslenkungen ist die Kraft auf das Pendel:

\begin{displaymath}
F = - \frac{m g}{l} ( x - \xi).
\end{displaymath}

Mit $\xi = \xi_{m} cos(\omega t)$ folgt die Bewegungsgleichung

\begin{displaymath}
m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = F = - \frac{mg}{l} ( x - \xi_{m} cos(\omega t))
\end{displaymath}

oder

\begin{displaymath}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{g}{l} x = \frac{g \xi_{m}}{l} cos(\omega t).
\end{displaymath}


b) Dieses vergleichen wir mit

\begin{displaymath}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} x = \frac{F_{0}}{m} cos(\omega t),
\end{displaymath}

und erhalten:

\begin{displaymath}
x_{m} = \frac{F_{0}/m}{\sqrt{(\omega_{0}^{2} - \omega^{2})^{...
...
= \frac{\xi_{m}}{1 - \frac{4\pi^{2}l}{T^{2} g}} = 14,5 \; mm.
\end{displaymath}


c) Da die Dämpfung vernachlässigt werden konnte, ist der Nullphasenwinkel $\varphi = 0$ für $\omega < \omega_{0}$ oder $\varphi = \pm \pi$ für $\omega > \omega_{0}$. (Anmerkung: Das $\varphi(\omega)$- Diagramm unterscheidet sich in einigen Darstellungen durch das Vorzeichen. Dieses liegt an verschiedenen Ansätzen für die Kraft, $F_{0} cos(\omega t)$ oder $F_{0} sin(\omega t)$). In unserem Fall ist $\omega > \omega_{0}$, daher $\varphi = \pm \pi$.
Aufgabe 3:
Nach Vorlesung bedeutet Schwebung eine Schwingung mit der größeren Frequenz $\omega = (\omega_{1} + \omega_{2})/2$, deren Amplitude mit der kleineren Frequenz $\omega_{mod} = (\omega_{1}-\omega_{2})/2$ moduliert wird. Für die Schwingungen der beiden Pendel $a$ und $b$ können wir dann schreiben:

\begin{displaymath}
\psi_{a} = A_{mod}(t) cos(\omega t) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;
\psi_{b} = A_{mod}(t) sin(\omega t),
\end{displaymath}

mit

\begin{displaymath}
A_{mod}(t) = 2 A cos(\omega_{mod} t) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;
B_{mod}(t) = 2 A sin(\omega_{mod} t).
\end{displaymath}

Diese Formeln folgen direkt aus den Angaben im Skript Seite 7 und 8. Die Energien sind
$\displaystyle E_{a} = \frac{1}{2} m \omega^{2} A_{mod}^{2} = 2 m A^{2} \omega^{2}
cos^{2}(\omega_{mod} t)$      
$\displaystyle E_{b} = \frac{1}{2} m \omega^{2} B_{mod}^{2} = 2 m A^{2} \omega^{2}
sin^{2}(\omega_{mod} t)$      

Die Summe beider ist ersichtlich konstant:

\begin{displaymath}
E_{a} + E_{b} = 2 m A^{2} \omega^{2} = E.
\end{displaymath}

Wir berechnen noch die Differenz,

\begin{displaymath}
E_{a} - E_{b} = E cos(2\omega_{mod} t) = E cos((\omega_{1}-\omega_{2})t).
\end{displaymath}

Aus den beiden letzten Gleichungen folgt, daß
$\displaystyle E_{a} = \frac{E}{2} \left[ 1 + cos((\omega_{1}-\omega_{2})t) \right]$      
$\displaystyle E_{b} = \frac{E}{2} \left[ 1 - cos((\omega_{1}-\omega_{2})t) \right]$      

Diese Formeln zeigen sehr schön, wie die Energie von dem einen Pendel zum anderen Pendel hin- und herfließt.



Harm Fesefeldt
2007-11-28