Rechenübungen am 25. Oktober 2000

Aufgabe 1:
Gegeben sei eine harmonische Schallwelle der Form $y = y_{0} \; sin(kx - \omega t)$ mit der Frequenz $\nu = 100 \; Hz$ und Schallgeschwindigkeit $c = 330 m/s$. Berechnen Sie die a) Kreisfrequenz $\omega$, b) Wellenlänge $\lambda$, c) Schwingungsdauer $T$ und d) Wellenzahl $k$. e) Wie sieht die Funktion aus, wenn sich die Welle in entgegengesetzter Richtung fortpflanzt ?
Aufgabe 2:
Eine bestimmte Welle kann durch den Ausdruck $f(x,t) = e^{-a x^{2} - bt^{2} - 2\sqrt{a b} xt}$ beschrieben werden ( $a = 144 \; cm^{-2}, b = 9 \; s^{-2}$).
a) In welche Richtung läuft diese Welle ?
b) Wie groß ist die Phasengeschwindigkeit ?
c) Skizzieren Sie die Welle zur Zeit $t=0$ und $t > 0$.
d) Erfüllt diese Welle die Wellengleichung ?
e) Handelt es sich hierbei um eine harmonische Welle ?
Aufgabe 3:
Gegeben sei das Wellenpaket $f(x,0) = 3/(2x^{2} +1)$ zur Zeit $t=0$. Wie lauten die Wellen mit diesem Profil, die sich mit der Geschwindigkeit $c$ in positiver und negativer $x$- Richtung bewegen ?
Aufgabe 4:
Zeigen Sie, daß $f(x,t) = A_{0} e^{\pm ik(x - ct)}$ Lösungen der Wellengleichung sind.
Aufgabe 5:
Leiten Sie die Beziehungen

$$sin(z) = \frac{1}{2i} (e^{iz} - e^{-iz}), \; \; \; \; \; \; \; \; cos(z) = \frac{1}{2} (e^{iz} + e^{-iz})$$

aus der Eulerschen Formel $e^{iz} = cos(z) + i \; sin(z)$ ab.
Aufgabe 6:
Schreiben Sie die Funktionen $sin(z)$ und $cos(z)$ als Summe ihrer Real- und Imaginärteile.
Aufgabe 7:
Beweisen Sie, daß die Multiplikation einer harmonischen Welle mit $\pm i$ mit einer Phasenverschiebung um $\pm \pi/2$ gleichwertig ist.
Aufgabe 8:
Wir betrachten zwei Wellen $y_{1} = A cos(kx - \omega t)$ und $y_{2} = A cos(kx - \omega t + \pi)$. Mit komplexer Schreibweise zeige man, daß die Überlagerung beider Wellen eine stehende Welle $y = y_{1} + y_{2} = - 2A \; sin(kx) sin(\omega t)$ ergibt.

Lösungen

Aufgabe 1:
a) $\omega = 2 \pi \nu = 628 \; s^{-1}$
b) $\lambda = 2 \pi /k = (2\pi c)/(2 \pi \nu) = c/\nu = 3,3 \; m$
c) $T = 1/\nu = 0,01 \; s^{-1}$
d) $k = \omega/c = 2 \pi \nu/c = 1,90 \; m^{-1}$
e) $y = y_{0} \; sin\left( k (x + c t) \right) = y_{0} \; sin(kx + \omega t)$.
Aufgabe 2:
a) Wegen $-a x^{2} - bt^{2} - s\sqrt{ab} xt = -a(x + \sqrt{b/a} t)^{2}$ kann man diesen Wellenpuls auch schreiben als

$$f(x,t) = f(x+vt) = e^{-a(x + \sqrt{b/a} t)^{2}}.$$

Die Welle läuft als in negativer $x$- Richtung.
b) Die Phasengeschwindigkeit ist $v = \sqrt{b/a} = 0,25 \; cm/s$.
c)

d) Jede Funktion $f(x \pm vt)$ erfüllt die Wellengleichung $\partial^{2} f/\partial x^{2} = (1/v^{2}) \partial^{2} f/ \partial t^{2}$.
Es handelt sich nicht um eine harmonische Welle, sondern um eine Summe (unendlich vieler) harmonischer Wellen (Fourier- Zerlegung, das kriegen wir später).
Aufgabe 3:
$f(x,t) = 3/[2(x \pm ct)^{2} + 1]$, wobei das negative Vorzeichen für die Ausbreitung in positiver Richtung und das positive Vorzeichen für die Ausbreitung in negativer Richtung gilt.
Aufgabe 4:
Die ersten und zweiten partiellen Ableitungen der Funktion sind:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \pm ik A_{0} e^{\pm ik(x - ct)}$$

$$\frac{\partial f}{\partial t} = -(\pm ik A_{0}) e^{\pm ik(x - ct)}$$

$$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = (\pm ik)^{2} A_{0} e^{\pm ik(x - ct)} = - k^{2} A_{0} e^{\pm ik(x - ct)}$$

$$\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} = +(\pm ikc)^{2} A_{0} e^{\pm ik(x - ct)} = - k^{2} c^{2} A_{0} e^{\pm ik(x - ct)}$$

Einsetzen dieser Ausdrücke in die Wellengleichung beweist die angegebene Behauptung.
Aufgabe 5:
Wir schreiben $e^{iz} - e^{-iz} = cos(z)+i sin(z) - cos(-z) - i sin(-z) = cos(z) + i sin(z) - cos(z) + i sin(z) = 2 i sin(z)$ oder $sin(z) = (1/(2i)(e^{iz} - e^{-iz})$. Entsprechend für die zweite Gleichung.
Aufgabe 6:
Wir verwenden die Formeln der vorherigen Aufgabe 5 und setzen auf der rechten Seite $z = x + iy$ mit reellem $x$ und $y$.

$$sin(z) = \frac{1}{2i} \left( e^{i(x+iy)} - e^{-i(x+iy)} \right) = \frac{1}{2i} \left( e^{ix} e^{-y} - e^{-ix} e^{y} \right).$$

Für $e^{ix}$ und $e^{-ix}$ verwenden wir wiederum die Eulerschen Formeln und erhalten

$$sin(z) = \frac{1}{2i} \left( (cos(x) + i sin(x)) e^{-y} - (cos(-x) + i sin(-x)) e^{y} \right)$$

$$= \frac{1}{2i} \left( cos(x) e^{-y} + i sin(x) e^{-y} - cos(x) e^{y} + i sin(x) e^{y} \right).$$ (1)

Sortieren nach $cos(x)$ und $sin(x)$ ergibt dann

$$sin(z) = sin(x) \frac{e^{y}+e^{-y}}{2} + i cos(x) \frac{e^{y} - e^{-y}}{2}$$

$$cos(z) = cos(x) \frac{e^{y}+e^{-y}}{2} - i sin(x) \frac{e^{y} - e^{-y}}{2}$$

Aufgabe 7:
Sei $f = Ae^{i\varphi}$, dann ist $\pm i f = \pm i A e^{i\varphi}$. Wegen $\pm i = e^{\pm i \pi/2}$ folgt $\pm i f = A e^{i(\varphi \pm \pi/2)}$.
. Aufgabe 8:
Die Überlagerung lautet in komplexer Schreibweise $y = A e^{ikx}[e^{i\omega t} + e^{-i \omega t} e^{i \pi}]$. Wegen $e^{i\pi} = cos\pi + i sin\pi = -1$ folgt $y = A e^{ikx} [ e^{i\omega t} - e^{-i\omega t}] = A e^{ikx} 2i \; sin(\omega t)$. Anwendung der Eulerschen Formel auf $e^{ikx}$ ergibt $y = A[2i \; cos(kx) sin(\omega t) - 2 sin(kx)sin(\omega t)]$. Der Realteil dieses Ausdrucks ist $y = -2A \; sin(kx) sin(\omega t)$.