Lösungsvorschläge zur Übung Nr. 8
Besprechung: Mittwoch, den 10. Januar 2001
Aufgabe 1: (6 Punkte)
Der Abstand zwischen Bild und Gegenstand ist . Aus der
Abbildungsgleichung folgt . Folglich
gilt
Aus der Extremalbedingung folgt
und für also
oder . Aus der Abbildungsgleichung
folgt, daß für auch ist, daher ist der kleinste
Abstand . Daß es sich hierbei wirklich um ein Minimum
handelt, kann man aus der zweiten Ableitung folgern.
Aufgabe 2: (8 Punkte)
Das System befindet sich in Luft mit Brechungsindex , daher haben
wir die beiden einfachen Abbildungen
1. Translation:
2. Linse:
Hierbei ist der Abstand von der optischen Achse und die Steigung
der Geraden.
Zur Vereinfachung der Schreibweise haben wir die Brechkraft eingeführt.
Den Abstand der beiden Linsen
bezeichnen wir mit , den Abstand vom Gegenstand zur ersten Linse mit und
den Abstand vom Bild zur zweiten Linse mit . Man beachte, daß wir mit und
nicht die Abstände zu den Hauptebenen bezeichnen, wie es sonst in der
Optik üblich ist. Für die gesamte Abbildung erhalten wir dann
Üblicherweise wertet man zunächst die Systemmatrix aus, die aus den beiden
Linsen und der Translation über den Zwischenraum besteht. Dieses ergibt
Die Auswertung der beiden äußeren Translationen ergibt:
Mit diesen beiden Gleichungen kann man das gesamte optische System in vielen
Einzelheiten untersuchen:
a) Bei unserer Übungsaugaufgabe gehen wir folgendermassen vor:
Für
soll für alle auch
werden, daher muß sein, d.h. aber
oder
b) Zur Bestimmung der Abbildungsgleichung fordern wir, dass jeder von
kommende Lichtstrahl in fokussiert wird, unabhängig von .
Dann muß der Koeffizient vor in der zweiten Transformationsformel
verschwinden:
Hieraus folgen die Abbildungsgleichungen:
Man kann dann noch den Abbildungsmasstab berechnen (, ):
Die Determinante der Systemmatrix ist aber gleich 1, was man durch Einsetzen
prüfen kann. Insgesamt kann man 4 verschiedene Formen für den
Abbildungsmasstab herleiten:
Aus den beiden ersten Formeln erhält man noch die Newtonsche Form der
Abbildungsgleichung
Optische System mit zwei Linsen (Mikroskop, Fernrohr, Projektor u.s.w)
unterscheiden sich durch die Brechkräfte
,
und den Abstand
. Beim Mikroskop ist und
, beim Fernrohr und . Mit diesen
Bezeichnung erhält man für die Systemmatrix:
Die Newtonsche Abbildungsgleichung wird hiermit zu:
und der Abbildungsmasstab zu:
Es sollte nochmal betont werden, daß in allen unseren Formeln und die
Abstände zu den Linsen, und nicht zu den Hauptebenen sind. In der Matrizenoptik
ist die Definition der Hauptebenen im allgemeinen überflüssig.
Aufgabe 3: (6 Punkte)
Bei gleichem Abstand vom Objekt zur Kamera und bei gleichem Objekt ist die
vom Objektiv aufgefangene Energie proportional zur Fläche des Objektivs
und proportional zur Belichtungszeit. Die Fläche wiederum ist proportional
zum Quadrat des Durchmessers. Das Objektiv strahlt diese Energie auf den Film.
Die Helligkeit dieser Abbildung ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes.
Damit folgt:
wobei und
die Belichtungszeiten,
die Blende der Kamera,
der Durchmesser der
Lochkamera und der Abstand von Loch und Film bei der Lochkamera ist.
Damit gilt
Harm Fesefeldt
2007-12-20