Lösungsvorschläge zur Übung Nr. 8
Besprechung: Mittwoch, den 10. Januar 2001
Aufgabe 1: (6 Punkte)
Der Abstand zwischen Bild und Gegenstand ist $s = g + b$. Aus der Abbildungsgleichung $1/g+1/b=1/f$ folgt $b = gf/(g-f)$. Folglich gilt

\begin{displaymath}
s = g+b = g + \frac{gf}{g-f} = \frac{g^{2}}{g-f}.
\end{displaymath}

Aus der Extremalbedingung $ds/dg = 0$ folgt

\begin{displaymath}
\frac{2g(g-f)-g^{2}}{(g-f)^{2}} = 0,
\end{displaymath}

und für $g>f$ also $2g(g-f)-g^{2}=0$ oder $g=2f$. Aus der Abbildungsgleichung folgt, daß für $g=2f$ auch $b=2f$ ist, daher ist der kleinste Abstand $s_{min}=4f$. Daß es sich hierbei wirklich um ein Minimum handelt, kann man aus der zweiten Ableitung folgern.
Aufgabe 2: (8 Punkte)
Das System befindet sich in Luft mit Brechungsindex $n_{L}=1$, daher haben wir die beiden einfachen Abbildungen
1. Translation:

\begin{displaymath}
\left( \begin{tabular}{c} $\alpha_{2}$\ \\ $r_{2}$\ \end{tab...
...in{tabular}{c} $\alpha_{1}$\ \\ $r_{1}$\ \end{tabular} \right)
\end{displaymath}

2. Linse:

\begin{displaymath}
\left( \begin{tabular}{c} $\alpha_{2}$\ \\ $r_{2}$\ \end{tab...
...in{tabular}{c} $\alpha_{1}$\ \\ $r_{1}$\ \end{tabular} \right)
\end{displaymath}

Hierbei ist $r$ der Abstand von der optischen Achse und $\alpha = r'$ die Steigung der Geraden.

Zur Vereinfachung der Schreibweise haben wir die Brechkraft $D = 1/f$ eingeführt. Den Abstand der beiden Linsen bezeichnen wir mit $d$, den Abstand vom Gegenstand zur ersten Linse mit $g$ und den Abstand vom Bild zur zweiten Linse mit $b$. Man beachte, daß wir mit $b$ und $g$ nicht die Abstände zu den Hauptebenen bezeichnen, wie es sonst in der Optik üblich ist. Für die gesamte Abbildung erhalten wir dann

\begin{displaymath}
\left( \begin{tabular}{c} $\alpha_{2}$\ \\ $r_{2}$\ \end{tab...
...in{tabular}{c} $\alpha_{1}$\ \\ $r_{1}$\ \end{tabular} \right)
\end{displaymath}

Üblicherweise wertet man zunächst die Systemmatrix aus, die aus den beiden Linsen und der Translation über den Zwischenraum besteht. Dieses ergibt

\begin{displaymath}
M = \left( \begin{tabular}{cc} $M_{11}$\ & $M_{12}$\ \\ $M_{...
... d D_{1}D_{2}$\ \\
$d$\ & $1-dD_{1}$\ \end{tabular} \right)
\end{displaymath}

Die Auswertung der beiden äußeren Translationen ergibt:
$\displaystyle \alpha_{2}$ $\textstyle =$ $\displaystyle (M_{11} + gM_{12}) \alpha_{1} + M_{12} r_{1}$  
$\displaystyle r_{2}$ $\textstyle =$ $\displaystyle (M_{11} b + M_{12} g b + M_{21} + g M_{22} ) \alpha_{1} + (M_{12} b + M_{22}
) r_{1}.$  

Mit diesen beiden Gleichungen kann man das gesamte optische System in vielen Einzelheiten untersuchen:
a) Bei unserer Übungsaugaufgabe gehen wir folgendermassen vor: Für $\alpha_{1} = 0$ soll für alle $r_{1}$ auch $\alpha_{2} = 0$ werden, daher muß $M_{12} = 0$ sein, d.h. aber

\begin{displaymath}
-D_{1} -D_{2} + d D_{1} D_{2} = 0
\end{displaymath}

oder

\begin{displaymath}
d = \frac{1}{D_{1}} + \frac{1}{D_{2}} = f_{1} + f_{2}.
\end{displaymath}

b) Zur Bestimmung der Abbildungsgleichung fordern wir, dass jeder von $r_{1}$ kommende Lichtstrahl in $r_{2}$ fokussiert wird, unabhängig von $\alpha_{1}$. Dann muß der Koeffizient vor $\alpha_{1}$ in der zweiten Transformationsformel verschwinden:

\begin{displaymath}
M_{11} b + M_{12} gb + M_{21} + M_{22} g = 0.
\end{displaymath}

Hieraus folgen die Abbildungsgleichungen:

\begin{displaymath}
g = - \frac{M_{11}b + M_{21}}{M_{12}b + M_{22}} \; \; \; \; ...
... \; \; \; \; b = - \frac{M_{22}g + M_{21}}{M_{12}g + M_{11}} .
\end{displaymath}

Man kann dann noch den Abbildungsmasstab berechnen ($r_{1} = G$, $r_{2} = B$):

\begin{displaymath}
\frac{B}{G} = M_{22} + M_{12} b = M_{22} - M_{12} \frac{M_{2...
...2}M_{21}}{M_{12}g + M_{11}}
= \frac{det(M)}{M_{12}g + M_{11}}.
\end{displaymath}

Die Determinante der Systemmatrix ist aber gleich 1, was man durch Einsetzen prüfen kann. Insgesamt kann man 4 verschiedene Formen für den Abbildungsmasstab herleiten:

\begin{displaymath}
\frac{B}{G} = \frac{1}{M_{11}+M_{12}g} = M_{22} + M_{12} b
= - \frac{b}{M_{21}+ M_{22}g} = - \frac{M_{21}+M_{11}b}{g}.
\end{displaymath}

Aus den beiden ersten Formeln erhält man noch die Newtonsche Form der Abbildungsgleichung

\begin{displaymath}
\left( b + \frac{M_{22}}{M_{12}} \right) \left( g + \frac{M_{11}}{M_{12}} \right)
= \left( \frac{1}{M_{12}} \right)^{2}.
\end{displaymath}

Optische System mit zwei Linsen (Mikroskop, Fernrohr, Projektor u.s.w) unterscheiden sich durch die Brechkräfte $D_{1} = 1/f_{1}$, $D_{2} = 1/f_{2}$ und den Abstand $d = f_{1} + f_{2} + l$. Beim Mikroskop ist $l > f_{1}$ und $l > f_{2}$, beim Fernrohr $l < f_{1}$ und $l < \vert f_{2}\vert$. Mit diesen Bezeichnung erhält man für die Systemmatrix:
$\displaystyle M_{11}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1 - (f_{1}+f_{2}+l)\frac{1}{f_{2}}= - \frac{f_{1}+l}{f_{2}}$  
$\displaystyle M_{12}$ $\textstyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{f_{1}} - \frac{1}{f_{2}} + (f_{1}+f_{2}+l)\frac{1}{f_{1}f_{2}}
= \frac{l}{f_{1} f_{2}}$  
$\displaystyle M_{21}$ $\textstyle =$ $\displaystyle f_{1} + f_{2} + l$  
$\displaystyle M_{22}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1 - (f_{1} + f_{2} + l) \frac{1}{f_{1}} = - \frac{f_{2}+l}{f_{1}}$  

Die Newtonsche Abbildungsgleichung wird hiermit zu:

\begin{displaymath}
\left( g - \frac{f_{1}(f_{1}+l)}{l} \right) \left( b - \frac...
...f_{2}+l)}{l} \right)
= \left(\frac{f_{1}f_{2}}{l} \right)^{2}.
\end{displaymath}

und der Abbildungsmasstab zu:

\begin{displaymath}
\frac{B}{G} = \frac{f_{1}f_{2}}{l(g-f_{1})-f_{1}^{2}} = \frac{l(b-f_{2})-f_{2}^{2}}
{f_{1}f_{2}}.
\end{displaymath}

Es sollte nochmal betont werden, daß in allen unseren Formeln $g$ und $b$ die Abstände zu den Linsen, und nicht zu den Hauptebenen sind. In der Matrizenoptik ist die Definition der Hauptebenen im allgemeinen überflüssig.
Aufgabe 3: (6 Punkte)
Bei gleichem Abstand vom Objekt zur Kamera und bei gleichem Objekt ist die vom Objektiv aufgefangene Energie proportional zur Fläche des Objektivs und proportional zur Belichtungszeit. Die Fläche wiederum ist proportional zum Quadrat des Durchmessers. Das Objektiv strahlt diese Energie auf den Film. Die Helligkeit dieser Abbildung ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes. Damit folgt:

\begin{displaymath}
a \left( \frac{D_{Kamera}}{f} \right)^{2} T_{Kamera}
= a \left( \frac{D_{Lochkamera}}{d} \right)^{2} T_{Lochkamera}
\end{displaymath}

wobei $T_{Kamera}$ und $T_{Lochkamera}$ die Belichtungszeiten, $f/D_{Kamera}$ die Blende der Kamera, $D_{Lochkamera}=0,8 \; mm$ der Durchmesser der Lochkamera und $d$ der Abstand von Loch und Film bei der Lochkamera ist. Damit gilt

\begin{displaymath}
T_{Lochkamera} = \left( \frac{D_{Kamera}}{f} \right)^{2} \le...
...rac{d}{D_{Lochkamera}} \right)^{2} T_{Kamera} \approx 39 \; s.
\end{displaymath}





Harm Fesefeldt
2007-12-20