Lösungsvorschläge zur Übung Nr. 5
Besprechung: Mittwoch, den 6. Dezember 2000
Aufgabe 1: (7 Punkte)
Stromdichte und elektrische Feldstärke sind durch
gegeben. Wir wählen die - Achse als Stromrichtung, dann ist in zylindrischen Koordinaten
das - Feld in positiver - Richtung gegeben und an der Oberfläche
des Leiters () betragsmäßig gleich
(siehe Physik II).
Der Poynting- Vektor ist auf der Oberfläche des Leiters
also normal auf der Leiteroberfläche in den Leiter hineingerichtet. Betragsmäßig ist
Die Wärmeleistung des Stromes kann geschrieben werden als:
wobei wir die Integration über das Volumen eines Leiterelementes der Länge
erstreckt haben. Die Integration des Poynting- Vektors ergibt entsprechend
Auf Grund des Poyntingschen Satzes kann die in Form von Wärme dem elektromagnetischen
Feld entzogene Energie nur durch eine einlaufende Strahlung kompensiert werden. Diese
Energiestrahlung erfolgt auf Grund unseres Ergebnisses radial in den Leiter hinein.
Aufgabe 2: (6 Punkte)
a) Sei der Radius des Kreises, dann gilt (siehe Skizze)
, also
auch
Daher ist auch die mittlere Intensität
auf diesem Kreis
konstant.
b) Durch Rotation des Kreises um die Dipolachse wird im dreidimensionalen Raum ein
Torus. Die gesamte abgestrahlte Leistung ist das Integral über die mittlere
Intensität, integriert über die Oberfläche dieses Torus:
Wir setzen zur Abkürzung
,
dann ist in Polarkoordinaten(
):
Bei dieser Integration ist eigentlich eine Funktion von , glücklicherweise
fällt heraus:
Das Endergebnis war in der Vorlesung bereits angegeben:
Aufgabe 3: (7 Punkte)
Der Energieverlust in einem Umlauf auf dem Kreis ist , wobei die
Umlaufzeit ist. Wegen und ist zunächst:
Wegen
und
gilt also
Eingesetzt in die obige Formel für folgt:
Setzen wir wieder
, so erhalten wir schliesslich
Beim letzten Schritt haben wir die Approximation benutzt.
a) Für Elektronen ergibt sich mit den angegebenen Zahlenwerten
b) Das Verhältnis der abgestrahlten Energien für Protonen und Elektronen bei gleichem
Radius ist
Wegen
folgt
. Obwohl die Energie der Protonen wesentlich
höher ist als die der Elektronen, ist die Abstrahlung vernachlässigbar klein.
Harm Fesefeldt
2007-12-19