Lösungsvorschläge zur Übung Nr. 4

Besprechung: Mittwoch, den 29. November 2000
Aufgabe 1: (6 Punkte)
Sei $\vec{r}_{t} = (x(t),y(t))$ der Bahnpunkt zur Zeit $t$, so muß es bei einer periodischen Bahn einen späteren Zeitpunkt $t+T$ mit konstantem $T$ geben, für den $\vec{r}(t) = \vec{r}(t+T)$ oder auch $\vec{r}(t+T) - \vec{r}(t) = 0$ gilt. Die letzte Gleichung können wir mit Hilfe trigonometrischer Formeln schreiben als

$$sin[\omega_{1} (t+T)] - sin[\omega_{1} t] = 2 \; cos\left( \frac{\omega_{1}(2t + T)}{2}\right) \; sin\left( \frac{\omega_{1}(-T)} {2} \right) = 0$$

$$sin[\omega_{2} (t+T)] - sin[\omega_{2} t] = 2 \; cos\left( \frac{\omega_{2}(2t + T)}{2}\right) \; sin\left( \frac{\omega_{2}(-T)} {2} \right) = 0$$

Diese Bedingungen sind erfüllt, wenn gleichzeitig

$$\omega_{1} T = 2 n \pi, \; \; \; \; \; n=1,2,3,4,...$$

$$\omega_{2} T = 2 m \pi, \; \; \; \; \; m=1,2,3,4,....$$

Daher muß

$$\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}} = \frac{n}{m}, \; \; \; \; \; n,m=1,2,3,4,...$$

eine rationale Zahl sein. Die obigen Bedingsgleichungen sind auch erfüllt, wenn

$$\omega_{1} T = 2(2n+1)\frac{\pi}{2}, \; \; \; \; \; n=1,2,3,4,...$$

$$\omega_{2} T = 2(2m+1)\frac{\pi}{2}, \; \; \; \; \; m=1,2,3,4,...$$

Die Zahlen $\omega_{1}/\omega_{2} = (2n+1)/(2m+1)$ sind allerdings in der ersten Lösung bereits enthalten.
Aufgabe 2: (7 Punkte)
Wir gehen von der in der Vorlesung angegebenen Formel

$$\nu' = \nu_{0} \frac{1-(v_{B}/c)cos\theta_{B}}{1-(v_{S}/c)cos\theta_{S}}$$

aus.
a) Die Geschwindigkeit der Fledermaus $F_{1}$ ist $v_{S} = v_{1} = 10 \; m/s$ und ihre Senderfrequenz $\nu_{0} = 5\cdot 10^{4} \; Hz$. Betrachten wir zunächst die Fledermaus $F_{2}$. Sie bewegt sich nicht, also ist $v_{B} = 0$. Sie hört einmal die direkt von $F_{1}$ kommenden Frequenzen. Diese sind wegen $\theta_{S} = 180^{o}$ und damit $cos\theta_{S} = -1$ durch $\nu_{1} = \nu_{0}/(1+v_{S}/c)$ gegeben. Die Wand wirkt als Empfänger der Frequenz $\nu_{2} = \nu_{0}/(1-v_{S}/c)$. In diesem Fall ist ebenfalls $v_{B} = 0$, aber $\theta_{S}=0$ und damit $cos\theta_{S} = +1$. Diese Wellen werden reflektiert und ebefalls von $F_{2}$ empfangen. Die Fledermaus $F_{1}$ hört einmal die Frequenz $\nu_{0}$ in ihrem eigenen Ruhesystem. Zum anderen hört sie die von der Wand reflektierten Wellen, allerdings als Beobachter mit der Geschwindigkeit $v_{B} = v_{S}$ und $\theta_{B} = 180^{o}$ oder $cos\theta_{B} = -1$, d.h. $\nu_{3} = \nu_{2} (1+v_{S}/c)$. Zusammngefaßt erhalten wir:

$$F_{1} : \nu_{0} = 5 \cdot 10^{4} \; Hz, \; \; \; \; \; \nu_{3} = \nu_{0} \frac{1+v_{S}/c}{1-v_{S}/c} = 5,31 \cdot 10^{4} \; Hz.$$

$$F_{2} : \nu_{1} = \nu_{0} \frac{1}{1+v_{S}/c} = 4,85 \cdot 10^{4} \; Hz, \; \; \; \; \; \nu_{2} = \nu_{0} \frac{1}{1-v_{S}/c} = 5,16 \cdot 10^{4} \; Hz.$$

b) Die Frequenzen $\nu_{0}$ und $\nu_{1}$ ändern sich nicht. Die Wand mit $v_{B} = v_{W} = 1 \; m/s$ wirkt jetzt als Empfänger der Frequenz $\nu_{2}'' = \nu_{0}(1+v_{W}/c)/(1-v_{S}/c)$ und als Sender der Frequenz

$$\nu_{2}' = \frac{\nu_{2}''}{1-v_{W}/c} = \nu_{0}\frac{(1+v_{W}/c)} {(1-v_{W}/c)(1-v_{S}/c)} = 5,19 \cdot 10^{4} \; Hz.$$

Daraus folgt für die Grequenz $\nu_{3}'$:

$$\nu_{3}' = \nu_{2}'(1+v_{S}/c) = \nu_{0}\frac{(1+v_{W}/c)(1+v_{S}/c)} {(1-v_{W}/c)(1-v_{S}/c)} = 5,34 \cdot 10^{4} \; Hz.$$

Die Änderungen sind also sehr klein, trotzdem können Fledermäuse diese wahrnehmen.
Aufgabe 3: (7 Punkte)
a) Nach Vorlesung ergibt die Anwendung des Laplace- Operators auf einen Vector

$$\Delta \vec{B} = \frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial x^{2}} ... ...\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}\vec{B}} {\partial z^{2}}.$$

Obwohl die $y$- Komponente des $\vec{B}$- Feldes ausser von $(\omega t - kx)$ noch von $y$ abhängt, ist trotzdem

$$\frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial x^{2}} = - k^{2} \vec{B}... ...c{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}} = - \omega^{2} \vec{B}.$$

Einsetzen in die Wellengleichung ergibt

$$- k^{2} \vec{B} = - c^{2} \vec{B} \; \; \; \; \; \rightarrow \; \; \; \; \; k = \frac{\omega}{c}.$$

$c = \omega/k$ ist aber die Phasengeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen.
b) Im freien Raum ($\vec{j} = 0$) lautet die vierte Maxwellsche Gleichung

$$\epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = r... ..._{y}}{\partial x} - \frac{\partial B_{x}}{\partial y} \right).$$

Die einzig nicht verschwindende Ableitung ist im vorliegenden Problem $\partial B_{y}/\partial x = a k^{2}y \; sin(\omega t - kx)$. Daher folgt

$$\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \vec{e}_{z} \frac{a k^{2}y}{\epsilon_{0} \mu_{0}} \; sin(\omega t - kx).$$

Integration über die Zeit liefert bei Vernachlässigung der Integrationskonstanten

$$\vec{E} = -\vec{e}_{z} \frac{a k^{2}y}{\epsilon_{0}\mu_{0}\omega} \; cos(\omega t - kx).$$