Lösungsvorschläge zur Übung Nr. 2
Besprechung: Mittwoch, den 15. November 2000
Aufgabe 1: (6 Punkte)
In der Vorlesung wurde die Energiedichte für longitudinale Wellen auf einem
Stab abgeleitet:
Diese Formel gilt für jede Lösung
.
Beschränkt man sich auf eine der beiden Lösungen oder
, so kann man zeigen (wegen
und
folgt auch
),
daß beide Anteile der kinetischen und potentiellen Energie gleich sind:
Die Phasengeschwindigkeit auf dem Stab ist hierbei
.
Den entsprechenden Ausdruck für die Seilwelle mit der linearen
Massendichte und der Seilspannung erhält man wegen
und
durch die Ersetzungen
und
:
ist hierbei die Querschnittsfläche des Seils.
Die potentielle Energie kann man auch folgendermassen diskutieren.
Bei der Schwingung erfährt das Seilstück eine Dehnung
.
Adererseits gilt für die Bogenlänge
,
daher können wir die Längenänderung ausdrücken durch
Für
ergibt die Taylorentwicklung
Die potentielle Energie bei der Dehnung ist dann
also
Die lineare kinetische Energiedichte ist
mit der linearen Massendichte . Mit
und
folgt auch
hier
a) Wir beschränken uns im folgenden auf den Ausdruck mit der Zeitableitung.
Die Leistung ist definiert als
Die partielle Ableitung nach der Zeit ergibt für den Gaußschen Wellenpuls
und daher die Leistung
b) Bei der Skizze beschränken wir uns auf die Zeit . Für andere
Zeiten verschiebt sich der Wellenpuls und der Leistungspuls um die
Strecke . Dann ist
Die Maximalwerte der Leistung berechnen sich aus zu
,
und
.
Bei hat der Wellenpuls ein Maximum, dagegen verschwindet die
Leistung. Bei und hat die Leistung ein Maximum. Dieses
entspricht dem Seilelement mit der größten Geschwindigkeit.
Aufgabe 2: (5 Punkte)
Nach Vorlesung ist in der Wellenlehre mit ''Intensität'' die mittlere
Intensität gemeint, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird.
a) Nach Vorlesung gilt für die Intensität als Funktion der Amplitude
Beide Lautsprecher sollen gleiche Intensität abstrahlen, d.h.
oder
b) Entsprechend gilt für die maximalen Druckabweichungen
Daher folgt in diesem Fall
Aufgabe 3: (4 Punkte)
a) Die Lautstärke in einem bestimmten Jahr sei . Dann gilt
für zwei aufeinanderfolgende Jahre
Auflösen nach der Intensität ergibt
Dieses entspricht einer eher übertriebenen Zunahme von pro Jahr.
b) In Jahren steigt die Intensität auf
.
Eine Verdoppelung findet für
oder
statt.
Aufgabe 4: (5 Punkte)
Die Phasengeschwindigkeit von Wasserwellen ist nach Vorlesung
Die Wassertiefe ist sicher groß im Vergleich zur
Wellenlänge (
), daher können wir
setzen. Die Oberflächenspannung von
Wasser ist klein, daher kann auch der zweite Term in der Klammer
vernachlässigt werden. Es gilt also für dieses Problem:
wobei im letztem Schritt
gesetzt wurde. Für die
Gruppengeschwindigkeit erhalten wir dann:
Harm Fesefeldt
2007-12-04