Lösungsvorschläge zur Übung Nr. 2
Besprechung: Mittwoch, den 15. November 2000
Aufgabe 1: (6 Punkte)
In der Vorlesung wurde die Energiedichte für longitudinale Wellen auf einem Stab abgeleitet:

\begin{displaymath}
w = \frac{\rho}{2} \left( \frac{\partial \xi}{\partial t} \r...
...frac{E}{2} \left( \frac{\partial \xi}{\partial x} \right)^{2}.
\end{displaymath}

Diese Formel gilt für jede Lösung $\xi(x,t) = f(x-ct) + g(x + ct)$. Beschränkt man sich auf eine der beiden Lösungen $f(x-ct)$ oder $g(x+ct)$, so kann man zeigen (wegen $\partial \xi/\partial t =
\pm c \xi'$ und $\partial \xi/\partial x = \xi'$ folgt auch $(\partial \xi/\partial t)^{2} = c^{2} (\partial \xi/\partial x)^{2}$), daß beide Anteile der kinetischen und potentiellen Energie gleich sind:

\begin{displaymath}
w = \rho \left( \frac{\partial \xi}{\partial t} \right)^{2} ...
...t)^{2} \; \; \; \; \;
fuer \; \; \; \xi(x,t) = \xi(x \pm ct).
\end{displaymath}

Die Phasengeschwindigkeit auf dem Stab ist hierbei $c_{Stab} = \sqrt{E/\rho}$. Den entsprechenden Ausdruck für die Seilwelle mit der linearen Massendichte $\mu$ und der Seilspannung $F_{s}$ erhält man wegen $\rho = \mu/A$ und $c_{Seil} = \sqrt{F_{s}/\mu} = \sqrt{(F_{s}/A)/\rho}$ durch die Ersetzungen $\rho \rightarrow \mu/A$ und $E\rightarrow F_{s}/A$:

\begin{displaymath}
w = \frac{\mu}{A} \left( \frac{\partial \xi}{\partial t} \ri...
...ht)^{2}
\; \; \; \; \; fuer \; \; \; \xi(x,t) = \xi(x \pm ct).
\end{displaymath}

$A$ ist hierbei die Querschnittsfläche des Seils.
Die potentielle Energie kann man auch folgendermassen diskutieren. Bei der Schwingung erfährt das Seilstück $\Delta x$ eine Dehnung $\Delta l = \sqrt{(\Delta x)^{2}+ (\Delta \xi )^{2}} - \Delta x$.

Adererseits gilt für die Bogenlänge $ds = \sqrt{1 + (d\xi/dx)^{2}} dx$, daher können wir die Längenänderung ausdrücken durch

\begin{displaymath}
\Delta l = \left[ \sqrt{1 + \left( \frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^{2}
} - 1 \right] \Delta x.
\end{displaymath}

Für $(\partial \xi/\partial x)^{2} \ll 1$ ergibt die Taylorentwicklung

\begin{displaymath}
\Delta l \approx \left[ 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{\partia...
...\left( \frac{\partial \xi}{
\partial x } \right)^{2} \Delta x.
\end{displaymath}

Die potentielle Energie bei der Dehnung ist dann

\begin{displaymath}
\Delta U = F_{s} \Delta l = \frac{1}{2} F_{s} \left( \frac{\partial \xi}
{\partial x} \right)^{2} \Delta x,
\end{displaymath}

also

\begin{displaymath}
\frac{dU}{dx} = \frac{1}{2} F_{s} \left( \frac{\partial \xi}{\partial x}
\right)^{2}.
\end{displaymath}

Die lineare kinetische Energiedichte ist

\begin{displaymath}
\frac{dT}{dx} = \frac{1}{2} \mu \left( \frac{\partial \xi}{\partial t}
\right)^{2},
\end{displaymath}

mit der linearen Massendichte $\mu$. Mit $(\partial \xi/\partial t)^{2} = c^{2} (\partial \xi/\partial x)^{2}$ und $c^{2}=F_{s}/\mu$ folgt auch hier

\begin{displaymath}
\frac{dT}{dx} = \frac{1}{2} F_{s} \left( \frac{ \partial \xi}{\partial x}
\right)^{2}.
\end{displaymath}

a) Wir beschränken uns im folgenden auf den Ausdruck mit der Zeitableitung. Die Leistung ist definiert als

\begin{displaymath}
P = w A c = \mu c \left( \frac{\partial \xi}{\partial t} \right)^{2}.
\end{displaymath}

Die partielle Ableitung nach der Zeit ergibt für den Gaußschen Wellenpuls

\begin{displaymath}
\frac{\partial \xi}{\partial t} = 2 \frac{c}{x_{0}} \frac{(x-ct)}{x_{0}}
\xi(x,t),
\end{displaymath}

und daher die Leistung

\begin{displaymath}
P(x,t) = \frac{4 \mu c^{3}}{x_{0}^{2}} \left( \frac{x-ct}{x_...
...}} \left(
\frac{x-ct}{x_{0}} \right) e^{-2[(x-ct)/x_{0}]^{2}}.
\end{displaymath}

b) Bei der Skizze beschränken wir uns auf die Zeit $t=0$. Für andere Zeiten $t$ verschiebt sich der Wellenpuls und der Leistungspuls um die Strecke $ct$. Dann ist

\begin{displaymath}
\xi(x,0) = \xi_{0} e^{-(x/x_{0})^{2}}, \; \; \; \; \; \; \; ...
...}^{2}} \left( \frac{x}{x_{0}}
\right)^{2} e^{-2(x/x_{0})^{2}}.
\end{displaymath}

Die Maximalwerte der Leistung berechnen sich aus $dP/dx = 0$ zu $x_{1} = 0$, $x_{2} = - x_{0}/\sqrt{2}$ und $x_{3} = + x_{0}/\sqrt{2}$. Bei $x_{1}$ hat der Wellenpuls ein Maximum, dagegen verschwindet die Leistung. Bei $x_{2}$ und $x_{3}$ hat die Leistung ein Maximum. Dieses entspricht dem Seilelement mit der größten Geschwindigkeit.


Aufgabe 2: (5 Punkte)
Nach Vorlesung ist in der Wellenlehre mit ''Intensität'' die mittlere Intensität gemeint, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird.
a) Nach Vorlesung gilt für die Intensität als Funktion der Amplitude

\begin{displaymath}
\overline{I} = \frac{1}{2} \rho c \omega^{2} \xi_{0}^{2}.
\end{displaymath}

Beide Lautsprecher sollen gleiche Intensität abstrahlen, d.h.

\begin{displaymath}
\omega_{1}^{2} \xi_{0,1}^{2} = \omega_{2}^{2} \xi_{0,2}^{2}
\end{displaymath}

oder

\begin{displaymath}
\frac{\xi_{0,1}}{\xi_{0,2}} = \frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}
= \frac{\nu_{2}}{\nu_{1}} = 10.
\end{displaymath}

b) Entsprechend gilt für die maximalen Druckabweichungen

\begin{displaymath}
\overline{I} = \frac{1}{2\rho c} ( \Delta p_{max} )^{2}.
\end{displaymath}

Daher folgt in diesem Fall

\begin{displaymath}
\frac{\Delta p_{max,1}}{\Delta p_{max,2}} = 1.
\end{displaymath}


Aufgabe 3: (4 Punkte)
a) Die Lautstärke in einem bestimmten Jahr $n$ sei $L_{n}$. Dann gilt für zwei aufeinanderfolgende Jahre

\begin{displaymath}
L_{n+1} - L_{n} = 1 \; dB = 10 \; log\left( \frac{I_{n+1}}{I...
..._{0}} \right) =
10 \; log \left( \frac{I_{n+1}}{I_{n}} \right)
\end{displaymath}

Auflösen nach der Intensität ergibt

\begin{displaymath}
I_{n+1} = 10^{1/10} I_{n} \approx 1,26 I_{n}.
\end{displaymath}

Dieses entspricht einer eher übertriebenen Zunahme von $26\%$ pro Jahr.
b) In $m$ Jahren steigt die Intensität auf $I_{n+m} = (1,26)^{m} I_{n}$. Eine Verdoppelung findet für $(1,26)^{m} = 2$ oder $m \approx 3 \; Jahre$ statt.
Aufgabe 4: (5 Punkte)
Die Phasengeschwindigkeit von Wasserwellen ist nach Vorlesung

\begin{displaymath}
c^{2} = \left( \frac{g \lambda}{2\pi} + \frac{2\pi \sigma}{\...
...mbda}
\right) \; tangh \left( \frac{2\pi h}{\lambda} \right) .
\end{displaymath}

Die Wassertiefe $h = 5000 \; m$ ist sicher groß im Vergleich zur Wellenlänge ( $ \lambda \approx 1 - 100 \; m$), daher können wir $tangh(2\pi h/\lambda) \approx 1$ setzen. Die Oberflächenspannung von Wasser ist klein, daher kann auch der zweite Term in der Klammer vernachlässigt werden. Es gilt also für dieses Problem:

\begin{displaymath}
c \approx \sqrt{ \frac{g \lambda}{2\pi}} = \sqrt{ \frac{g}{k}},
\end{displaymath}

wobei im letztem Schritt $k=2\pi/\lambda$ gesetzt wurde. Für die Gruppengeschwindigkeit erhalten wir dann:

\begin{displaymath}
v_{g} = \frac{d\omega}{dk} = \frac{d}{dk} (k c) = \frac{d}{d...
... =
\frac{1}{2} \sqrt{ \frac{g}{k}} = \frac{c}{2} = 2,5 \; m/s.
\end{displaymath}





Harm Fesefeldt
2007-12-04