\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{\"Ubung Nr.11}
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\centerline{\bf Abgabetermin: Montag, d. 11. Juli 2005}
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{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
a) Beim Natrium betr"agt die Fermi- Energie $E_{F} = 3,12 \; eV$ und die Dichte 
$\rho = 0,97 \; g/cm^{3}$. Berechnen Sie aus diesen Angaben die Anzahl der Leitungselektronen
pro Atom. \newline
b) Berechnen Sie den Anteil der Leitungselektronen in Natrium, deren Energien bei Zimmertemperatur 
gr"o"ser als die Fermi- Energie $E_{F}$ ist.  
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{\bf Aufgabe 2:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Berechnen Sie die mittlere Energie eines Leitungselektrons in Natrium bei niedrigen
Temperaturen ($T \approx 0 \; K$). 
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{\bf Aufgabe 3:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Legt man an ein Metall ein Magnetfeld an, so stellen sich  die Spins der Leitungselektronen parallel
bzw. antiparallel zum Feld ein. Man erh"alt dann verschiedene Zustandsdichten
$g_{\pm}(E \pm \mu_{B}B)$ f"ur die Elektronen der beiden Spinstellungen
(siehe Abbildung unten auf dieser Seite). Berechnen Sie
hieraus die paramagnetische Suszeptibilit"at  von Kupfer ($E_{F} = 4,07 \; eV$) bei niedrigen Temperaturen. 
(Anmerkung: Beachten Sie bei der L"osung, da"s f"ur fast alle Energien und technisch 
herstellbare Magnetfelder $\mu_{B} B \ll E$ ist, in der Abbildung ist $\mu_{B} B$ viel zu gro"s gezeichnet).  
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{\bf Aufgabe 4:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
$N$ unterscheidbare Atome sind auf zwei Energieniveaus $E_{1}=0$ und $E_{2}=E$ verteilt.
Die Energieniveaus seien nicht entartet.  \newline
a) Zeigen Sie, da"s die Energie $E_{S}$ des Systems bei der Temperatur $T$ durch
\begin{displaymath}
E_{S} = \frac{N E e^{-E/kT}}{1 + e^{-E/kT}}
\end{displaymath}
gegeben ist. \newline
b) Berechnen Sie die spezifische W"arme $c_{V}$ f"ur dieses System. \newline
c) Skizzieren Sie die L"osung f"ur $c_{V}$ als Funktion von $T$. 
\end{document}
