Übung Nr.6

Abgabetermin: Montag, d. 6. Juni 2005

Aufgabe 1: (5 Punkte)
Beweisen Sie die Kontinuitätsgleichung (siehe Skript Formel (20), Kap.8.2):

$$\partial_{t} \rho + \vec{\nabla} \cdot \vec{j} = 0,$$

mit der Wahrscheinlichkeitsdichte $\rho$ und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte $\vec{j}$.
Aufgabe 2: (5 Punkte)
Ein Teilchen befindet sich in einem Potential $V(x)$, welches gebundene Zustände besitzt.
a) Zeigen Sie, daß der Erwartungswert des Impulses des Teilchens in einem gebundenen stationären Zustand Null ist (Anleitung: Drücken Sie zunächst $[H,x]$ durch den Impulsoperator aus).
b) Zeigen Sie, daß der quantenmechanische Erwartungswert des auf den Koordinatenursprung bezogenen Dipolmomentes eines elektrisch geladenen Teilchens verschwindet, wenn letzteres sich in einem Zustand bestimmter Parität befindet, d.h. $\psi(-\vec{r}) = \pm \psi(\vec{r})$.
Aufgabe 3: (5 Punkte)
Ein Wasserstoffatom befindet sich im Grundzustand.
a) In welchem Abstand vom Kern ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons am größten ?
b) Wie groß ist der mittlere Abstand zwischen Elektron und Kern ?
Aufgabe 4: (5 Punkte)
Eine Wellenfunktion des Wasserstoffatoms lautet

$$\psi = \frac{1}{8\sqrt{\pi}a_{0}^{3/2}} \left( \frac{r}{a_{0}} \right) e^{-r/(2a_{0})} sin(\theta) e^{-i \varphi}.$$

Berechnen Sie mit Hilfe der zugehörigen Operatoren die $z$- Komponente und den Betrag des Bahndrehimpulses.