\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{\"Ubung Nr.6}
\normalsize
\centerline{\bf Abgabetermin: Montag, d. 6. Juni 2005}
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{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Beweisen Sie die Kontinuit"atsgleichung (siehe Skript Formel (20), Kap.8.2):
\begin{displaymath}
\partial_{t} \rho + \vec{\nabla} \cdot \vec{j} = 0,
\end{displaymath}
mit der Wahrscheinlichkeitsdichte $\rho$ und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte
$\vec{j}$. 
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{\bf Aufgabe 2:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Ein Teilchen befindet sich in einem Potential $V(x)$, welches gebundene Zust"ande besitzt. \newline
a) Zeigen Sie, da"s der Erwartungswert des Impulses des Teilchens in einem gebundenen station"aren
Zustand Null ist (Anleitung: Dr"ucken Sie zun"achst $[H,x]$ durch den Impulsoperator aus). \newline
b) Zeigen Sie, da"s der quantenmechanische Erwartungswert des auf den Koordinatenursprung
bezogenen Dipolmomentes eines elektrisch geladenen Teilchens verschwindet, wenn letzteres sich in 
einem Zustand bestimmter Parit"at befindet, d.h. $\psi(-\vec{r}) = \pm \psi(\vec{r})$.   
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{\bf Aufgabe 3:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Ein Wasserstoffatom befindet sich im Grundzustand. \newline
a) In welchem Abstand vom Kern ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons
am gr\"o"sten ? \newline
b) Wie gro"s ist der mittlere Abstand zwischen Elektron und Kern ? 
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{\bf Aufgabe 4:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Eine Wellenfunktion des Wasserstoffatoms lautet 
\begin{displaymath}
\psi = \frac{1}{8\sqrt{\pi}a_{0}^{3/2}} \left( \frac{r}{a_{0}} \right) e^{-r/(2a_{0})} sin(\theta)
e^{-i \varphi}.
\end{displaymath}
Berechnen Sie mit Hilfe der zugeh"origen Operatoren die  $z$- Komponente und den Betrag
des Bahndrehimpulses. 
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