Übung Nr.4

Abgabetermin: Montag, d. 23. Mai 2005

Aufgabe 1: (5 Punkte)
Ein paralleles Bündel monoenergetischer Elektronen der Energie $E$ fällt senkrecht auf einen Schirm mit einem langen Spalt der Breite $b$. Berechnen Sie die Verteilung der Elektronen in der Beugungsfigur, die im Abstand $L$ vom Schirm entsteht. Wie groß ist insbesondere der Abstand des ersten Minimums vom Hauptmaximum.
Aufgabe 2: (8 Punkte)
Ein Teilchen mit der Energie $E$ bewegt sich in einem eindimensionalen Potential $V$, das durch $V = \infty$ für $x \leq 0$, $V = 0$ für $0 < x < L$ und $V = E_{0} > 0$ für $x \geq L$ gegeben ist.
a) Zeigen Sie, daß das Teilchen im Fall $E > E_{0}$ ein kontinuierliches Energiespektrum besitzt.
b) Lösen Sie die Schrödingergleichung für den Fall $E < E_{0}$ und zeigen Sie, daß das Energiespektrum diskret ist und nur endlich viele Werte hat. Hier genügt eine graphische Darstellung einer möglicherweise transzendenten Gleichung. (Anleitung: Transformieren Sie die Gleichung auf eine Form $\eta = - \xi \; cot(\xi)$, und zwar so, daß $\xi^{2} + \eta^{2} = \rho^{2}$ gilt, wobei $\rho$ nicht mehr von $E$ abhängt. Aus den Schnittpunkten dieser beiden Gleichungen kann man die erlaubten Werte von $E$ bestimmen)
c) Welcher Bedingung muß $E_{0}$ genügen, damit überhaupt diskrete Energiewerte auftreten$\;$? Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der Heisenbergschen Unschärferelation.
d) Skizzieren Sie die ersten drei Wellenfunktionen und berechnen Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $x$ und $E_{0} - E$.
Aufgabe 3: (7 Punkte)
a) Transformieren Sie mit $\xi = \alpha x$ die Schrödingergleichung des eindimensionalen harmonischen Oszillators in die Form

$$\frac{d^{2} \psi}{ d\xi^{2}} + (\lambda - \xi^{2}) \psi = 0.$$

Geben Sie $\alpha$ und $\lambda$ an.
b) Die Eigenfunktionen haben dann die allgemeine Form

$$\psi_{n} = (-1)^{n} a_{n} e^{\xi^{2}/2} \frac{d^{n}}{d\xi^{n}}e^{-\xi^{2}}, \; \; \; \; \; n=0,1,2,....$$

Berechnen Sie die ersten drei Eigenfunktionen ($n = 0,1,2$) und zeigen Sie, daß die Anzahl der Knoten mit $n$ übereinstimmt.
c) Zeigen Sie, daß die ersten beiden Eigenfunktionen orthogonal sind.
d) Berechnen Sie die Erwartungswerte $<x^{2}>$ für die ersten beiden Zustände und schreiben Sie diese Erwartungswerte als Funktion der Energie des Zustandes.